R - простое ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля с идеалами I={0} или I=R. Доказать, что R - поле?

задан 16 Дек '17 8:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала надо доказать, что в кольце имеется единица. Кольцо при этом должно считаться ненулевым. Рассмотрим произвольный ненулевой элемент a. Главный идеал (a) совпадает со всем кольцом. Тогда существует x такой, что ax=a. Для любого элемента r из R при этом выполняется равенство axr=ar. Следовательно, a(xr-r)=0. Поскольку кольцо не имеет делителей нуля, и a отличен от нуля, имеет место равенство xr=r для всех r, то есть x -- единица кольца. Будем далее обозначать её в виде 1.

Снова рассмотрим идеал (a), который равен R. Ему принадлежит 1, то есть существует элемент b такой, что ab=1. Этим доказано, что всякий ненулевой элемент из R обратим в этом кольце. Значит, с учётом всех остальных свойств, R является полем.

ссылка

отвечен 16 Дек '17 14:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×82

задан
16 Дек '17 8:17

показан
181 раз

обновлен
16 Дек '17 14:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru