Вычислить группу обратимых элементов кольца вычетов Z33. Обозначив за U(Z33) множество обратимых элементов кольца Z33, я выписал элементы, которые составляют его: это элементы, взаимно простые с 33. U(Z33)={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,28,29,31,32} |U(Z33)| = 20 Вопрос состоит в том, как описать структуру группы обратимых элементов? Писать таблицу Кэли для 20 элементов вообще желания нет и тем более нет желания перебирать все 20 чисел и рассматривать их степени. В Википедии нашел информацию, что для определения структуры группы можно находить примитивный(первообразный) корень, используя функцию Эйлера. Проблема в том, что, во-первых, нам этого не давали, и использовать это будет не очень правильно, а, во-вторых, не очень понятно, как, найдя примитивный корень, определить структуру группы.

задан 16 Дек '17 22:02

изменен 16 Дек '17 22:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

Элементы группы Вы нашли верно. Их будет ф(33)=ф(3)ф(11)=20 (функция Эйлера). Из китайской теоремы об остатках следует, что U(33) изоморфна прямому произведению U(3)xU(11). Это сводит вопрос о строении группы к двум более простым случаям.

Группа U(3) состоит из двух элементов (1 и 2 по модулю 3). С ней всё ясно: она циклична порядка 2. Другая группа, U(11), тоже циклична (порядка 10). Это следует из общего факта о первообразных корнях. Раз он не изучался, мы можем подбором найти образующий этой группы, чего будет достаточно.

Первым на роль кандидата в образующие берём число a=2, и возводим его в степени по модулю 11. Если окажется, что его степени исчерпывают всю группу, то цель достигнута -- образующий найден. Если нет, проверяем на тот же предмет элемент a=3, и так далее.

Начиная с 1 (нулевая степень), каждое число удваиваем и заменяем на остаток от деления на 11. Получается 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1. Процесс завершён: степени элемента 2 исчерпали всю группу U(11) из ненулевых остатков.

Итого U(33) изоморфна Z(2)xZ(10), что полностью описывает структуру группы. Она же изоморфна Z(2)xZ(2)xZ(5), если мы указываем примарное разложение.

ссылка

отвечен 16 Дек '17 22:34

Огромное спасибо!

(16 Дек '17 22:54) hazir
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×1,879
×1,025
×441
×100

задан
16 Дек '17 22:02

показан
1851 раз

обновлен
16 Дек '17 22:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru