геометрия - Концентрические окружности

Пусть $%O$% -- центр обеих окружностей. Рассмотрим сначала случай, когда вершина $%A$% лежит на окружности радиусом $%5$%. Проведём прямую $%OA$%; она будет осью симметрии треугольника $%ABC$%, и углы $%BAO$%, $%CAO$% равны $%30$% градусам. Опустим из $%O$% перпендикуляр $%OK$% на $%AB$%. Треугольник $%OAK$% прямоугольный с острым углом $%30$% градусов, поэтому его катет, лежащий против такого угла, будет вдвое короче гипотенузы $%OA$%, по длине равной $%5$%. А расстояние от точки $%O$% до каждой из прямых $%AB$%, $%AC$% равняется $%OK=2,5$%, что строго больше $%2$%. Это значит, что меньшая из окружностей лежит строго внутри угла $%BAC$%, и отрезок $%BC$% не будет её хордой. Таким образом, это расположение треугольника невозможно, и осталось рассмотреть случай, когда $%A$% лежит на окружности радиусом $%2$%, а $%BC$% -- хорда круга радиусом $%5$%.

Как и выше, $%OA$% будет осью симметрии треугольника $%ABC$%, образующей углы в $%30$% градусов с каждой из прямых $%AB$%, $%AC$%. Рассмотрим перпендикуляр $%OK$%, опущенный из центра на прямую $%AB$%. Хорду, образованную пересечением прямой $%AB$% с кругом радиуса $%5$% обозначим через $%B_1B_2$%; при этом точка $%B$% может быть равна как $%B_1$%, так и $%B_2$%.

В треугольнике $%OAK$% нам известна гипотенуза $%OA=2$%. Ввиду того, что острый угол составляет $%30$% градусов, длина катета $%OK$% будет равна половине гипотенузы, то есть $%OK=1$%. Заметим также, что $%KA=\sqrt{3}$%. Теперь в треугольнике $%OB_iK$% ($%i=1,2$%) нам известна гипотенуза $%OB=5$% и катет $%OK=1$%. Тогда по теореме Пифагора получаем $%KB_1=KB_2=\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$%. Считая, что точка $%A$% лежит на отрезке $%KB_1$%, имеем $%AB_1=KB_1-KA=2\sqrt{6}-\sqrt{3}$%, и $%AB_2=KB_2+KA=2\sqrt{6}+\sqrt{3}$%. Для каждого из случаев $%B=B_i$% ($%i=1,2$%) правильный треугольник $%ABC$% может быть построен, поэтому в ответе имеем две возможности для длины его стороны: $%2\sqrt{6}\pm\sqrt{3}$%.