Две окружности имеют центры в одной точке и радиусы 5 и 2. Найти длину стороны правильного треугольника ABC, вершина A которого лежит на одной окружности, а сторона BC является хордой другой окружности.

задан 16 Мар '13 9:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%O$% -- центр обеих окружностей. Рассмотрим сначала случай, когда вершина $%A$% лежит на окружности радиусом $%5$%. Проведём прямую $%OA$%; она будет осью симметрии треугольника $%ABC$%, и углы $%BAO$%, $%CAO$% равны $%30$% градусам. Опустим из $%O$% перпендикуляр $%OK$% на $%AB$%. Треугольник $%OAK$% прямоугольный с острым углом $%30$% градусов, поэтому его катет, лежащий против такого угла, будет вдвое короче гипотенузы $%OA$%, по длине равной $%5$%. А расстояние от точки $%O$% до каждой из прямых $%AB$%, $%AC$% равняется $%OK=2,5$%, что строго больше $%2$%. Это значит, что меньшая из окружностей лежит строго внутри угла $%BAC$%, и отрезок $%BC$% не будет её хордой. Таким образом, это расположение треугольника невозможно, и осталось рассмотреть случай, когда $%A$% лежит на окружности радиусом $%2$%, а $%BC$% -- хорда круга радиусом $%5$%.

Как и выше, $%OA$% будет осью симметрии треугольника $%ABC$%, образующей углы в $%30$% градусов с каждой из прямых $%AB$%, $%AC$%. Рассмотрим перпендикуляр $%OK$%, опущенный из центра на прямую $%AB$%. Хорду, образованную пересечением прямой $%AB$% с кругом радиуса $%5$% обозначим через $%B_1B_2$%; при этом точка $%B$% может быть равна как $%B_1$%, так и $%B_2$%.

В треугольнике $%OAK$% нам известна гипотенуза $%OA=2$%. Ввиду того, что острый угол составляет $%30$% градусов, длина катета $%OK$% будет равна половине гипотенузы, то есть $%OK=1$%. Заметим также, что $%KA=\sqrt{3}$%. Теперь в треугольнике $%OB_iK$% ($%i=1,2$%) нам известна гипотенуза $%OB=5$% и катет $%OK=1$%. Тогда по теореме Пифагора получаем $%KB_1=KB_2=\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$%. Считая, что точка $%A$% лежит на отрезке $%KB_1$%, имеем $%AB_1=KB_1-KA=2\sqrt{6}-\sqrt{3}$%, и $%AB_2=KB_2+KA=2\sqrt{6}+\sqrt{3}$%. Для каждого из случаев $%B=B_i$% ($%i=1,2$%) правильный треугольник $%ABC$% может быть построен, поэтому в ответе имеем две возможности для длины его стороны: $%2\sqrt{6}\pm\sqrt{3}$%.

ссылка

отвечен 16 Мар '13 11:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

$$\begin{cases} C_1A\cdot CA=NA\cdot MA,\\C_1A^2+CA^2-2C_1A\cdot CA\cdot cos120^o=BC_1^2=(OM\sqrt{3})^2 ,\\ CA>C_1A,\end{cases}\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow \begin{cases} C_1A\cdot CA=21,\\C_1A^2+CA^2+C_1A\cdot CA=75 ,\\ CA>C_1A,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (C_1A+CA)^2=96 ,\\(CA-C_1A)^2=12,\\ CA>C_1A,\end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} C_1A+CA=4\sqrt{6} ,\\CA-C_1A=2\sqrt{3},\\ CA>C_1A,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} CA=2\sqrt{6}+\sqrt{3} ,\\C_1A=2\sqrt{6}-\sqrt{3},\\ CA>C_1A.\end{cases}$$

Ответ. $%2\sqrt{6}+\sqrt{3}; 2\sqrt{6}-\sqrt{3}.$%

ссылка

отвечен 16 Мар '13 15:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%E$% точка большой окружности, и от точки $%E$% проведени $%2$% касательные второй окружности. Если вершина А лежала бы на большой окружности,то $%\angle BAC<2\cdot\angle OEP<60^0$%(дело в том что $%sin\angle OEP=\frac{OP}{OE}=0.4<0.5=sin30^0\Rightarrow \angle OEP<30^0).$% Значит точка $%A$% лежит на окружности радиусом $%2.$% Введем координатную систему с центром O,так чтобы $%Оx||BC,Oy$% совпадает с $%OA$%.Обозначим $%AB=BC=AC=a, AB_1=B_1C_1=AC_1=b.$% Так-как $%AB\cdot AB_1=3\cdot 7\Rightarrow b=\frac{21}a.$% Уравнение прямой $%BC$% будет, $% y=2-\frac{a\sqrt3}2.$% Координаты точки $%B(\frac{a}2;2-\frac{a\sqrt3}2).$% Так-как точка $%B$% принадлежит окружности $%x^2+y^2=25,$% значит $%(\frac{a}2)^2+(2-\frac{a\sqrt3}2)^2=25\Leftrightarrow a=\sqrt3\pm2\sqrt{6}. $% Удовлетворяет только $%a=\sqrt3+2\sqrt{6}\Rightarrow b=\frac{21}{a}=\frac{21}{\sqrt3+2\sqrt6}=2\sqrt{6}-\sqrt3.$%

Ответ.$%2\sqrt6\pm\sqrt3$%

alt text

ссылка

отвечен 16 Мар '13 20:47

изменен 16 Мар '13 20:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,300

задан
16 Мар '13 9:33

показан
2869 раз

обновлен
16 Мар '13 20:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru