При каких значениях a система $$ \begin{cases}y-\mid x-5 \mid=2 \\ax-y+3=0 \end{cases} $$ имеет единственное решение, для которого $$2a+ \mid x-4 \mid \leq 2$$

задан 16 Мар '13 9:39

изменен 16 Мар '13 9:49

Условие задачи допускает два разных прочтения. Первое: система имеет в точности одно решение, и оно удовлетворяет неравенству. Второе: система может иметь одно или несколько решений, но среди них неравенству удовлетворяет ровно одно.

(16 Мар '13 21:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Условие сформулировано несколько небрежно, потому что его можно понять и таким образом, что система обязательно должна иметь ровно одно решение, которое вдобавок удовлетворяет неравенству. Однако в такой постановке задача оказывается совсем простой, поэтому исследуем другой вариант. А именно, когда система может иметь одно или более решений, но ровно одно из них удовлетворяет неравенству.

Прежде всего, $%y$% можно исключить, рассматривая уравнение $%|x-5|=ax+1$%. Далее, неравенство перепишем в виде $%|x-4|\le2-2a$%, откуда сразу ясно, что рассматривать надо только случай $%a\le1$%, а неравенство можно заменить на двойное: $%2+2a\le x\le6-2a$%. Именно в таком виде мы далее будем проверять значения $%x$% на предмет выполнения неравенства. Введём обозначение $%J=[2+2a,6-2a]$%.

Поставим две вспомогательных задачи. Первая: при каких $%a$% уравнение с модулем имеет решение $%x\ge5$%, принадлежащее $%J$%? Множество всех таких $%a$% обозначим через $%M_1$%. Вторая: при каких $%a$% уравнение с модулем имеет решение $%x < 5$%, принадлежащее $%J$%? Множество всех таких $%a$% обозначим через $%M_2$%. Легко понять, что решение относительно $%x$% в каждом из этих случаев имеется всего одно, если оно есть. Поэтому далее для получения ответа нам надо будет взять те $%a$%, которые принадлежат в точности одному из множеств $%M_1$%, $%M_2$% (это симметрическая разность двух множеств).

1) $%x\ge5$%. Здесь $%x-5=ax+1$%, то есть $%x(1-a)=6$%. Ясно, что $%1-a\ne0$%, и $%x=6/(1-a)$%. Неравенство $%x\ge5$% означает, что $%0 < 1-a\le6/5$%, поэтому $%a\in[-1/5,1)$%.

Теперь надо выяснить, когда $%x$% попадёт в $%J$%. Левый конец отрезка $%J$% меньше $%4$% ввиду $%a < 1$%, и потому он меньше $%x$%. Остаётся решить неравенство $%6/(1-a)\le6-2a$%. Обе части сокращаем на $%2$% и домножаем на $%1-a > 0$%; получается $%a(a-4)\ge0$%. С учётом отрицательности второго сомножителя, $%a\le0$%. Таким образом, $%M_1=[-1/5;0]$%.

2) $%x < 5$%. Здесь $%5-x=ax+1$%, то есть $%x(1+a)=4$%. При этом $%a+1\ne0$% (в противном случае было бы $%0=4$%), и $%x=4/(1+a)$%. Неравенство $%x < 5$% превращается в условие $%a\in(-\infty;-1)\cup(-1/5,1]$% с учётом того, что $%a\le1$%.

Число $%x$% будет принадлежать $%J$%, если выполнены два неравенства. Решим их по отдельности, сокращая в обоих случаях на $%2$%. Первое неравенство имеет вид $%1+a\le2/(1+a)$%. На промежутке $%a\in(-\infty;-1)$% мы получим $%(a+1)^2\ge2$%, то есть $%a+1\le-\sqrt{2}$% с учётом отрицательности числа. И от промежутка у нас теперь остаётся $%a\in(-\infty;-1-\sqrt{2}]$%. Для другого промежутка, то есть для $%(-1/5,1]$%, число $%a+1$% положительно, и мы имеем неравенство с обратным знаком, то есть $%(a+1)^2\le2$%. Здесь $%0 < a+1\le\sqrt{2}$%, что означает $%-1 < a\le\sqrt{2}-1$%, и после пересечения с рассматриваемым промежутком, остаётся условие $%a\in(-1/5;\sqrt{2}-1]$%.

На данный момент мы работаем с условием $%a\in(-\infty;-1-\sqrt{2}]\cup(-1/5;\sqrt{2}-1]$%, и осталось проанализировать ещё одно неравенство, означающее, что $%x$% не превосходит правого конца отрезка $%J$%. Мы имеем $%2/(1+a)\le3-a$%, и удобно решить его по отдельности для каждого из оставшихся промежутков. На $%a\in(-\infty;-1-\sqrt{2}]$% число $%a+1$% отрицательно, и это приводит к условию $%2\ge(3-a)(1+a)$%, то есть $%(a-1)^2\ge2$%. Для отрицательных $%a$% получается неравенство $%a\le1-\sqrt{2}$%, и оно автоматически выполняется на рассматриваемом множестве. А для промежутка $%a\in(-1/5;\sqrt{2}-1]$% неравенство приобретает обратный знак, то есть $%(a-1)^2\le2$%. Здесь $%a\in[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$%, что также автоматически выполнено ввиду $%\sqrt{2}-1 > 1/5$%.

Итак, мы установили, что $%M_2=(-\infty;-1-\sqrt{2}]\cup(-1/5;\sqrt{2}-1]$%. Остаётся взять симметрическую разность этого множества с $%M_1=[-1/5;0]$%. За исключением точки $%x=-1/5$%, все остальные элементы $%M_1$% принадлежат $%M_2$%, поэтому мы их удаляем, а эту точку добавляем.

Ответ: $%a\in(-\infty;-1-\sqrt{2}]\cup\{-1/5\}\cup(0;\sqrt{2}-1]$%.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 2:05

Решение длинное, трудно прочитать до конца. Я приведу стандартное решение и сравним ответы.

(17 Мар '13 9:28) ASailyan

@Sailyan: Да, решение получилось длинное, и тут приходится разбирать много случаев. Но я не знаю, как это всё можно миновать, так как здесь сами границы промежутков являются корнями уравнений, которые так или иначе придётся учитывать. Если удастся придумать что-то существенно более короткое, это было бы хорошо.

(17 Мар '13 13:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

link text

Мой любимый графический метод

ссылка

отвечен 17 Мар '13 15:05

изменен 7 Апр '14 12:19

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Буду придерживаться версии falcao (для условия задачи).

$$\begin{cases}y-|x-5|=2,\\ax-y+3=0,\end{cases}\Rightarrow a=\frac{|x-5|-1}{x},x\ne0.$$$$2a+|x-4|\le 2\Leftrightarrow a\le 1-\frac{|x-4|}{2}.$$

Далее воспользуемся графическим методом.

alt text

$%A,B,E - $% точки пересечения графиков функций $%a=\frac{|x-5|-1}{x}$% и $%a = 1-\frac{|x-4|}{2}$%, $%D - $% точка минимума функции $%a=\frac{|x-5|-1}{x}$%.

Проведя несложные вычисления, получим:$$A(-2\sqrt{2};-1-\sqrt{2}), B(2\sqrt{2};\sqrt{2}-1),C(4;0), E(6;0), D(5;-\frac{1}{5}).$$

Заметим, что $%x=0$% - не может входить в решение системы.

Анализируя график, получим ответ к этой задаче: $$a\in (-\infty;-1-\sqrt{2}]\cup \{-\frac{1}{5}\}\cup(0;\sqrt{2}-1].$$

ссылка

отвечен 17 Мар '13 15:48

изменен 17 Мар '13 15:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

1) $%\begin{cases}y-|x-5|=2\\ax-y+3=0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}y=|x-5|+2\\y=ax+3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|x-5|+2=ax+3\\y=ax+3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}|x-5|=ax+1\\y=ax+3 \end{cases}$%

2) $%2a+|x-4|\le2 \Leftrightarrow |x-4|\le2-2a.$%

Достаточно найти те значения параметра $%a$%, при которых система $%\begin{cases}|x-5|=ax+1\\|x-4|\le2-2a \end{cases}$% имеет единственное решение.Применим метод интервалов

$%\begin{cases}|x-5|=ax+1\\|x-4|\le2-2a \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases}5-x=ax+1\\4-x\le2-2a \\x<4\end{cases}\\\begin{cases}5-x=ax+1\\x-4\le2-2a\\4\le x\le5 \end{cases}\\\begin{cases}x-5=ax+1\\x-4\le2-2a \\x>5 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases}x(a+1)=4\\x\ge 2+2a \\x<4\end{cases}\\\begin{cases}x(a+1)=4\\x\le6-2a\\4\le x\le5 \end{cases}\\\begin{cases}x(1-a)=6\\x\le6-2a \\x>5 \end{cases} \end{aligned}\right. $%

Легко проверить,что при $%a=\pm 1,$% совокупность не имеет решений.Пусть $%a\ne\pm1.$%

Не трудно убедится что системы совокупности не могут иметь общее решение, так-как неравенства $%x<4, 4\le x\le5, x>5$% не совместимы. И так надо потребовать,чтобы при условии $%a\ne\pm1$% одна система совокупности имела решение(очевидно что единственное),а две другие не имели решений. Соответственно будут 3 случаи:

а) $%\begin{cases}\frac{4}{a+1}\ge2(1+a) \\\frac{4}{a+1}<4\\ \left[\begin{aligned}\\\frac{4}{a+1}>6-2a \\ \frac{4}{a+1}<4\\\frac{4}{a+1}>5 \end{aligned}\right.\\\left[ \begin{aligned}\frac{6}{1-a}>6-2a\\\frac{6}{1-a}\le 5\end{aligned}\right. \\ \end{cases} \Leftrightarrow a\in (-\infty;-1-\sqrt2]\cup (0;\sqrt2-1]$%

б) $%\begin{cases}\left[\begin{aligned}\frac{4}{a+1}\le2(1+a) \\\frac{4}{a+1}\ge4 \end{aligned}\right.\\ \frac{4}{a+1}\le 6-2a \\ 4\le\frac{4}{a+1}\le 5 \\\left[ \begin{aligned}\frac{6}{1-a}>6-2a\\\frac{6}{1-a}\le 5\end{aligned}\right. \\ \end{cases} \Leftrightarrow a=-0,2$%

в) $%\begin{cases}\left[\begin{aligned}\frac{4}{a+1}\le2(1+a) \\\frac{4}{a+1}\ge4 \end{aligned}\right.\\ \left[\begin{aligned}\\\frac{4}{a+1}>6-2a \\ \frac{4}{a+1}<4\\\frac{4}{a+1}>5 \end{aligned}\right.\\\frac{6}{1-a}\le6-2a\\\frac{6}{1-a}> 5 \\ \end{cases} \Leftrightarrow a\in\oslash$%

И так ответ.$% а\in (-\infty;-1-\sqrt2]\cup \{-0,2\}\cup (0;\sqrt2-1]$%

ссылка

отвечен 17 Мар '13 17:38

изменен 17 Мар '13 17:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×518
×265
×111

задан
16 Мар '13 9:39

показан
1631 раз

обновлен
17 Мар '13 18:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru