|
Числа $$x+y-z, x-y+z, 2x-y+3z$$ являются корнями кубического уравнения $$t^3-11t^2+18t=0$$ Найти возможные при этих условиях целые значения $$x, y, z$$ задан 16 Мар '13 9:44 
Андрей В |
|
Корни кубического уравнения $%0,2,9.$% Остается решить $%6$% систем. Междупрочем межно решить систему с параметром $%\begin{cases} x+y-z=a\\x-y+z=b\\2x-y+3z=c \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{a+b}2\\y=\frac{2c-5b+a}4\\z=\frac{2c-3b-a}4 \end{cases}.$% Тогда будет 2 варианта $%a=0,b=2,c=9$% или $%a=2,b=0,c=9$%, и соответственно $%x=1,y=2,z=3$% и $%x=1,y=5,z=4.$% отвечен 16 Мар '13 13:14 
ASailyan Хорошее решение! Надо только исправить опечатку: в знаменателе дроби для $%y$% должно быть не $%2$%, а $%4$%.
(16 Мар '13 13:29)
falcao
Спасибо. Исправила.
(16 Мар '13 14:42)
ASailyan
|
|
Один из корней здесь равен нулю, а два других -- это корни квадратного уравнения $%t^2-11t+18=0$%, то есть это числа $%2$% и $%9$% из соображений теоремы Виета. Рассмотрим три случая -- в зависимости от того, какой из трёх корней равен нулю. 1) $%x+y-z=0$%. Здесь $%y=z-x$%, и два оставшихся корня равны $%2x$% и $%3x+2z$%. Первый из них чётен, то есть он равен двум, а другой равен девяти. Отсюда $%x=1$%, $%z=3$%, $%y=2$%. Это одно из решений. 2) $%x-y+z=0$%. Здесь $%y=x+z$%, и оставшиеся корни суть $%2x$% и $%x+2z$%. Снова имеем $%x=1$%, и тогда $%z=4$%, $%y=5$%. Это ещё одно решение. 3) $%2x-y+3z=0$%. Здесь $%y=2x+3z$%, и остаются корни $%3x+2z$%, $%-x-2z$%. Их сумма чётна, то есть они не могут принимать значения $%2$% и $%9$%. В этом случае решений нет. Итого решений в целых числах ровно два: $%(x,y,z)\in\{(1,2,3),(1,5,4)\}$%. Если принимать во внимание все решения, а не только целочисленные, то их тоже будет конечное число, и их при желании можно выписать. отвечен 16 Мар '13 12:40 
falcao |