|
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить уравнение y''+y'(cosx+2)+y(cosx+2-2sinx)=0 задан 16 Мар '13 11:58 
Serg
показано 5 из 13
показать еще 8
|
|
Два раза продифференцировал исходное уравнение и исключил интеграл. По поводу начальных условий вы правильно поняли. отвечен 20 Мар '13 10:50
Serg Насколько я понимаю, интегральное уравнение имелось в виду такое: $$y(x)=\cos(x)e^{-x}(1-\int_0^x e^{t}y(t)\,dt.$$ В частности, $%y(0)=1$%. Можно выразить интеграл через функцию и продифференцировать по $%x$%; получится дифференциальное уравнение первого порядка. Типа $%y'+y(1+\cos x+\tan x)=0$%. Оно решается, и получается как раз $%y=C\cos(x)e^{-x-\sin x}$%, причём $%C=y(0)=1$%. Получается то частное решение, которое Вы назвали. Это так?
(20 Мар '13 11:07)
falcao
Под интегралом ещё есть cosx, умноженный на exp(-(x-t))
(20 Мар '13 17:57)
Serg
@Serg: это понятно, но я вынес за знак интеграла то, что не зависит от переменной интегрирования $%t$%.
(20 Мар '13 18:32)
falcao
Извините, не заметил. Спасибо! Вы нашли правильный метод.Вот так его и нужно решать.А если его в лоб дифференцировать, то получается уравнение, которое в квадратурах не берётся. Хотя ответ, подставленній в это уравнение, удовлетворяет ему.
(20 Мар '13 21:17)
Serg
@Serg: интегральное уравнение имеет в точности одно решение -- то самое, которое Вы называли. Начальных и прочих условий тут нет. А дифференциальное уравнение второго порядка интересно само по себе -- в смысле нахождения всех его решений. Частное решение подобрать было трудно, и тут даже высказывались сомнения, есть ли оно (в элементарных функциях). Так или иначе, задача получилась интересная и интригующая!
(20 Мар '13 21:59)
falcao
|
Не было ли в условии одного частного решения?
@Serg: это задача учебная или исследовательская? Тут обычно надо находить частное решение, но оно в общем случае может и не выражаться в элементарных функциях. Я пробовал делать кое-какие замены и подстановки, но ничего такого совсем уж простого не просматривается. Ещё я вычислил несколько первых членов ряда для аналитического представления функции, но там тоже выражения получаются не очень хорошие.
Maple тоже не справляется, вернее, в решении присутствует "не берущийся" интеграл.
@Falcao и @Anatoliy, получилась неувязка. Я пытался править свой текст (отметить его бесполезность, а остальное удалить). Вместо этого получилось, что я удалил весь текст и ценные комментарии Falcao с обоснованиями условий разрешимости дифференциальных уравнений, а также замечание Anatoliy. Прошу извинить и если возможно, то восстановить исходное состояние.
@Urt: ничего страшного -- там у меня не содержалось чего-то особо ценного. По идее, здесь как-то сохраняется история сообщений, но я совершенно не знаю, как устроены эти вещи, и доступны ли они кому-то кроме модератора. С этим вопросом можно обратиться к @DocentI.
@Falcao, спасибо. Я обращусь. Так получилось, что действительно полезный материал, на который Вы потратили время, я одним махом стер.
Ко мне не надо, лучше сразу к модератору!
Спасибо всем за отзыв. Это уравнение я свёл к виду Z' + Z^2=Z(cosx+2)-(cosx+2-2sinx) А как дальше его решать? В ответе у=oosx*exp(-x-sinx)
Частного решения не было.
y=cosx*exp(-x-sinx) Извините описался. Это уравнение получилось в процессе решения интегрального уравнения Начальные условия y'(0)=1 y''(0)=2
@Serg: Если одно частное решение $%y_0$% известно, то надо сделать замену вида $%y(x)=y_0(x)z(x)$%. Это должно сводиться к уравнению первого порядка.
исходное интегральное уравнение y(x)=cosx*exp(-x)-(интеграл от 0 до x )cosx * exp(-(x-t)) y(t)dt извините за такое написание условия. Может быть я где-то ошибся в процессе решения?
@Serg: а как из интегрального уравнения получилось дифференциальное уравнение второго порядка? По поводу начальных условий: там даны значения первой и второй производной в нуле, я правильно понимаю?