сколько нормальных подгрупп индекса p(простое число) в свободной группе ранга k?

задан 19 Дек '17 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Всякая нормальная подгруппа N индекса p в F(k) задаёт (естественный) гомоморфизм свободной группы на циклическую подгруппу Z(p). Каждый из k образующих свободной группы можно перевести p способами в элемент из Z(p), то есть мы имеем p^k гомоморфизмов. Из них ровно один единичный, а у p^k-1 остальных гомоморфизмов, ядрами будут нормальные подгруппы индекса p.

Осталось понять, у скольких из этих гомоморфизмов ядро будет тем же самым. Два гомоморфизма с одним и тем же ядром N отличаются автоморфизмом циклической группы Z(p). Автоморфизмов у неё ровно p-1, так как фиксированный образующий мы именно таким числом способов можем перевести в образующий. Поэтому p^k-1 делим на p-1 и получаем ответ p^{k-1}+...+p+1.

ссылка

отвечен 19 Дек '17 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,633
×210

задан
19 Дек '17 23:38

показан
87 раз

обновлен
19 Дек '17 23:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru