(x+y)^5=z, (y+z)^5=x, (z+x)^5=y.

задан 20 Дек '17 18:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Среди трёх чисел всегда найдутся два неотрицательных или два неположительных. В первом случае их сумма неотрицательна, пятая степень суммы тоже, то есть третье число тоже неотрицательно. Это даёт $%x,y,z\ge0$%. Во втором случае наоборот, но второй случай сводится к первому, если у всех чисел одновременно сменить знак. Поэтому будем далее считать, что числа у нас неотрицательные.

Если среди чисел есть $%0$%, то все они равны нулю. Тройка $%(0,0,0)$% подходит. Пусть $%x,y,z > 0$%. Рассмотрим частный случай $%x=y=z$%. Он даёт $%(2x)^5=x$%, то есть $%x^4=\frac1{32}$%, $%x=\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Тройка $%(\frac1{2\sqrt[4]2},\frac1{2\sqrt[4]2},\frac1{2\sqrt[4]2})$% будет решением, и то же для $%(-\frac1{2\sqrt[4]2},-\frac1{2\sqrt[4]2},-\frac1{2\sqrt[4]2})$%.

Покажем, что других решений нет. Рассмотрим среди трёх чисел наименьшее. В силу симметрии, примем, что это $%z$%. Тогда $%x,y\ge z$%, откуда следует, что $%z=(x+y)^5\ge(2z)^5$%, то есть $%z^4\le\frac1{32}$%, и $%z\le\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Аналогично, наибольшее из трёх чисел не меньше $%\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Снова применяем принцип Дирихле: среди трёх чисел имеются два, которые оба $%\ge$% данного значения, или оба $%\le$%. Пусть $%x,y\ge\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Тогда $%x+y\ge\frac1{\sqrt[4]2}$%; $%z=(x+y)^5\ge\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Значит, $%z=\frac1{2\sqrt[4]2}$%. Два других числа тоже будут равны этому значению, так как если хотя бы одно из двух неравенств для $%x,y$% строгое, то и всё вместе даст строгое неравенство для $%z$%. Случай, когда два числа не больше $%\frac1{2\sqrt[4]2}$%, разбирается аналогично.

Итого система имеет три решения.

ссылка

отвечен 20 Дек '17 22:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×282

задан
20 Дек '17 18:39

показан
119 раз

обновлен
20 Дек '17 22:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru