Найти все $%x \in \mathbb{Z}^{-}$% при каждом из которых существует $%y \in \mathbb{R}$%, что $%y>x$% и не выполняется неравенство: $%21y + 3|y-2|+|x-y|+9|x^2-y+2| \ge 6|x+y|+16$%

задан 21 Дек '17 11:27

изменен 21 Дек '17 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим функцию $%f(y)=21y+3|y-2|+|y-x|+9|y-x^2-2|-6|y+x|-16$% при фиксированном $%x$%. Она является кусочно-линейной, причём на каждом промежутке, где она линейна, угловой коэффициент при $%y$% будет положительным за счёт того, что $%21 > 3+1+9+6$%. Это значит, что она строго возрастает на всей числовой прямой. Если неравенство $%f(y)\ge0$% выполняется при $%y=x$%, то оно выполняется и для всех $%y > x$%. Значит, нас интересует случай $%f(x) < 0$%. Если это так, то в силу непрерывности функций, это неравенство выполняется и в некоторой окрестности точки $%y=x$%, и тогда найдётся $%y > x$%, для которого $%f(y) < 0$%.

Таким образом, мы решаем неравенство $%f(x)=21x+3|x-2|+9(x^2-x+2)-12|x|-16 < 0$% для целых отрицательных $%x$%. Упрощая, имеем $%f(x)=9x^2+12x+2+3|x-2|-12|x|=9x^2+12x+2+6-3x+12x=9x^2+21x+8$% после раскрытия модулей, с учётом отрицательности $%x$%.

Корни квадратного трёхчлена равны $%\frac{-7\pm\sqrt{17}}6$%. Они оба отрицательны, и наименьший из них больше $%-2$%. Поэтому единственным целым отрицательным числом, удовлетворяющим неравенству $%f(x) < 0$%, будет $%x=-1$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '17 0:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×43

задан
21 Дек '17 11:27

показан
721 раз

обновлен
22 Дек '17 0:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru