Какой подход следует использовать для нахождения предела ряда, где $%a_n$% – ряд? Например, найти предел ряда $%a_n = 1+x+x^2 + ... + x^n$%.

Пробовал расписать через i-ый член ряда и через i-ю сумму, но ничего логически здравого не выходит. Есть догадка, что решается через рекуррентное соотношение, но пока не ясного как именно.

Обновление.

Видимо, ряд можно задать через ный член следующим образом $%a_n = a_{n-1} + x^n$%. Остается найти придел, если это возможно.

Вообще, получается, что если $%a_n = a_{n-1} + x^n$%, то $%lim_{x\to\infty} a_{n-1} + x^n$% сводится к $%lim_{x\to\infty} x^n$% сравнивая бесконечно большие.

задан 21 Дек '17 16:28

изменен 21 Дек '17 17:13

для х меньших 1 по модулю у Вас сумма бесконечно убывающей ГП, сумма которой по формуле находится, для других х ряд расходится так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

(21 Дек '17 16:58) aid78

@aid78 Не могли бы вы привести полное решение. На уровни инстинкта, я понимаю, что это так, но хотелось бы посмотреть на формальный подход к решению.

(21 Дек '17 17:11) Expert

Если речь о сумме 1+x+x^2+...+x^n+..., то она равна 1/(1-x) при |x| < 1. Это хорошо известная вещь. Если же имелась в виду "сумма сумм", т о есть 1+(1+x)+(1+x+x^2)+...+(1+x+...+x^n)+..., то у такого ряда нет суммы -- он всегда расходится.

(21 Дек '17 17:18) falcao

@falcao Да, вы верно поняли, мой случай — второй. Надо найти предел ряда $%1+(1+x)+(1+x+x^2)+...+(1+x+...+x^n)+...$%. Подскажите, пожалуйста, можно ли по правилу сравнения бесконечно больших отбросить все, кроме старшего $%x^n$% и затем работать уже с получившемся выражением?

(21 Дек '17 17:25) Expert

@Expert: точнее говорить не "предел ряда", а "сумма ряда". Это предел последовательности частичных сумм. В данном случае его искать не надо по той причине, что ни при каком x этого предела не существует. Иными словами, данный ряд всегда расходится. Это следует из необходимого признака сходимости: общий член 1+x+...+x^n должен стремиться к нулю при n->бесконечности. Но так не бывает ни при каком x, что довольно легко проверить.

(21 Дек '17 17:30) falcao

@falcao "что довольно легко проверить" — именно эта часть вызывает затруднения. Пожалуйста, не могли бы вы подробно рассмотреть это в ответе?

(21 Дек '17 17:35) Expert
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Утверждение.

Ряд $%\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1+x+\cdots+x^n)$% расходится для любого действительного $%x$%.

Доказательство.

По необходимому признаку сходимости, если ряд сходится, что его $%n$%-й член $%1+x+\cdots+x^n$% стремится к нулю при $%n\to\infty$%. При $%x=1$% это явно не так, поскольку получается последовательность с общим членом $%n+1$%, стремящаяся к бесконечности. При $%x\ne1$% справедливо тождество $%1+x+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$%. Если эта величина стремится к нулю, то её числитель стремится к нулю (так как знаменатель постоянен). Но $%x^{n+1}$% может стремиться к $%1$% только при $%x=1$%, а этот случай был разобран выше.

Напомним, что при $%|x| < 1$% последовательность $%x^{n+1}$% стремится к нулю; при $%x=-1$% она предела не имеет (чередуются $%1$% и $%-1$%); при $%|x| > 1$% она стремится к бесконечности.

ссылка

отвечен 21 Дек '17 17:45

Огромное спасибо за ответ!

(21 Дек '17 19:25) Expert

@falcao Пожалуйста, не могли бы вы пояснить переход к тождеству или дать ссылку на материал? Как я понимаю, ряд можно свернуть как $%1/(1-x)$%.

(22 Дек '17 16:02) Expert

@Expert: используемое тождество совершенно элементарно. Оно проверяется следующим образом: $%(1+x+x^2+\cdots+x^n)(1-x)=(1+x+x^2+\cdots+x^n)-(x+x^2+\cdots+x^n+x^{n+1})=1-x^{n+1}$% после сокращения членов, и остаётся разделить обе части на $%1-x\ne0$%. По сути дела, это формула для суммы членов геометрической прогрессии, она изучается в школе.

Формула $%1+x+\cdots+x^n+\cdots=\frac1{1-x}$% верна при $%|x| < 1$%.

(22 Дек '17 17:28) falcao

@falcao Теперь понял! Большое спасибо за подробные пояснения!

(22 Дек '17 19:45) Expert
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,596
×625
×268

задан
21 Дек '17 16:28

показан
232 раза

обновлен
22 Дек '17 19:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru