$%\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\;$%Помогите найти эту область, пожалуйста!

задан 16 Мар '13 18:48

изменен 16 Мар '13 21:14

1

Проверьте условие.

(16 Мар '13 19:14) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

В знаменателе дроби стоит $%n^2$%?

Если да, то надо извлечь корень $%n$%-й степени из модуля $%n$%-го коэффициента (это общая процедура). Далее надо найти верхний предел того, что получится, при $%n\to\infty$%. В данном случае это будет $%1$%, так как $%\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$%, и то же верно для квадрата этой величины, и для ей обратной.

Найденное значение равно $%R^{-1}$%, где $%R$% -- радиус сходимости ряда (это формула Коши - Адамара). В этом примере $%R=1$%, то есть ряд сходится при $%|x| < 1$% и расходится при $%|x| > 1$%. Случаи $%|x|=1$% надо исследовать отдельно -- разные ряды при этом могут себя вести по-разному. В данном случае ряд сходится при $%x=1$% (по интегральному признаку). Тогда он сходится и при $%x=-1$%, так как сходится ряд из абсолютных величин.

Областью сходимости будет отрезок $%x\in[-1,1]$%.

ссылка

отвечен 16 Мар '13 19:16

Да, дробь!!! Спасибо вам огромнейшее.

(16 Мар '13 21:13) lodger

Ну что такое! Это же просто стандартнейший пример, который есть в лююбом учебнике! @falcao, Вы что, очки себе набираете от благодарных двоечников?

(17 Мар '13 1:05) DocentI

@DocentI: в данном случае вынужден с Вами согласиться, но не потому, что пример стандартный (здесь очень часто обсуждается что-то даже ещё более простое -- типа про вероятность $%p^3$%, как это было вчера). Дело вот в чём: меньше недели назад уже был вопрос про область сходимости степенного ряда. Я поленился сходить по ссылкам, но сейчас проверил, что вопрос исходил от того же самого участника, причём там был разобран более сложный пример. Изучив который, не стоит никакого труда решить этот. Но как отличить тех, кто хочет понять материал, от тех, кто просто "спихивает" предмет?

(17 Мар '13 2:39) falcao

Например, попросить привести свои попытки. Пусть хоть что-то делает сам.

(17 Мар '13 16:23) DocentI

@DocentI: к сожалению, такой подход вряд ли будет эффективен, потому что почти во всех случаев люди после встречных вопросов куда-то исчезают. Более того, это требует внутреннего напряжения, потому что остаётся как бы "забота" в голове. Это аналогично тому, когда на компьютере открыто сразу много окон: он начинает медленнее работать. Мне проще или разъяснить, как решать задачу (если вопрос того зеслуживает), или проигнорировать. Скажем, на вопрос о производной функции $%x^2-7x$% я бы отвечать точно не стал, потому что это полное безобразие.

(17 Мар '13 16:32) falcao

Видимо, у нас с Вами разный порог для "безобразий" :-))

(18 Мар '13 15:45) DocentI

@DocentI: для меня разница в том, что одну ситуацию я понять могу, а другую нет. Допустим, учится студент во "втузе". Им читают лекции "галопом" (так как материал обширный), ничего не объясняют. А потом дают задачи "типового расчёта". И здесь человек может просто не знать методов. Но как мог возникнуть сам вопрос о производной квадратичной функции? В какой стадии освоения находится такой человек? Я только одну вещь могу предположить, что задача состояла в нахождении производной из определения. Но тогда надо было так и формулировать.

(18 Мар '13 16:01) falcao

Школьник, наверное.

(18 Мар '13 18:03) DocentI
1

во вы даете, создается такое впечатление что falcao согрешил, а Docentl пытается направить его на путь истинный. Спасибо вам falco, огромное за всю ту помощь, которую вы мне оказали. Docentl вы поймите что данные ресурс не вуз и тем более не школа в которой за вас решают (хотя наверное и в школах такого уже нет), что вам надо это знать. Кто хочет помочь советом, как решить, кто взял и разжевал ведь это дело каждого. Или вы боитесь, что ресурс превратится в решебник?

(19 Мар '13 15:22) lodger
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположительно, в знаменателе должно быть $%n^2 \,?$% $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} \tag{1}$$ Радиус сходимости ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n(x-x_0)^n} $% можно найти, используя формулы: $$R=\lim\limits_{n\to{\infty}} {\left|\frac{a_n}{a_{n+1}} \right|}, \\ R=\frac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to{\infty}}}\sqrt[n]{|a_n|}}.$$ Для ряда $%(1) \;\;\; a_n=n^2$% и $$R=\lim\limits_{n\to{\infty}} {\frac{n^2}{(n+1)^2}=1},$$ поэтому ряд $%(1) $% сходится абсолютно при $%|x|<1.$% На концах интервала, т.е. в точках $%x_1=-1, \;\; x_2=1$% этот ряд также абсолютно сходится. Таким образом, ряд $%(1) $% абсолютно сходится при $%{-1}\leqslant{x}\leqslant{1 }$% (и расходится при $%|x|>1. $%

ссылка

отвечен 16 Мар '13 19:21

изменен 17 Мар '13 1:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×771
×428
×282
×26

задан
16 Мар '13 18:48

показан
2722 раза

обновлен
19 Мар '13 15:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru