Пусть существует нетривиальный гомоморфизм поля K в себя, не являющийся биекцией. Докажите: А) поле К бесконечно Б) если char K =0, то степень расширения K над Q равна бесконечности

задан 22 Дек '17 23:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ядро гомоморфизма колец -- это идеал. В поле есть только нулевой и единичный идеалы. Во втором случае гомоморфизм тривиальный (нулевой). Значит, мы имеем дело с изоморфным вложением K в K.

Для конечного K получилось бы, что в образе столько элементов, сколько в самом поле. Ввиду конечности, образ совпал бы с K. Но у нас по условию это не так. Значит, K бесконечно.

Пусть char K=0, то есть K содержит простое подполе, изоморфное Q. Допустим, что степень K над Q конечна. Тогда K есть конечномерное подпространство над Q. При вложении f:K->K получается подпространство f(K) в K. Действительно, f(K) замкнуто относительно сложения, f(-x)=f(x), и достаточно доказать замкнутость f(K) относительно умножения на рациональные скаляры вида 1/n, где n натуральное.

Пусть f(x)=y, f(x/n)=z. Тогда nz=nf(x/n)=f(x/n+...+x/n)=f(x)=y, то есть (1/n)y=z принадлежит f(K).

Отображение f инъективно и линейно (над Q), и оно сохраняет размерность. Тогда подпространство f(K) в K имеет ту же конечную размерность, что и K, то есть пространства должны совпадать. Противоречие с условием доказывает, что K бесконечномерно над Q.

ссылка

отвечен 22 Дек '17 23:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,316

задан
22 Дек '17 23:45

показан
76 раз

обновлен
22 Дек '17 23:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru