При каких $%m, n \in Z$% изоморфны поля $%Q( \sqrt{n} )$% и $%Q( \sqrt{m} )$%?

задан 23 Дек '17 4:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для каждого натурального числа можно осуществить выделение полного квадрата, то есть представить число в виде $%k^2s$%, где $%s$% свободно от квадратов, то есть является произведением попарно различных простых чисел. Понятно, что поле $%\mathbb Q(\sqrt{k^2s})$% совпадает с $%\mathbb Q(\sqrt{s})$%, поэтому достаточно рассматривать лишь корни из чисел, свободных от квадратов. Для этого случая надо будет проверить, что для разных значений $%s$% поля окажутся неизоморфными.

Если два свободных от квадрата числа различны, то одно из них делится на некоторое простое число, а другое не делится. Пусть $%s$% делится на $%p$%, и $%t$% не делится. В поле $%\mathbb Q(\sqrt{s})$% уравнение $%X^2=s$% имеет решение. При изоморфизме это свойство сохраняется, поэтому достаточно доказать отсутствие решений в $%\mathbb Q(\sqrt{t})$%. Особо отметим случай $%t=1$%, который означает, что в поле рациональных чисел решений нет, что верно по причине иррациональности $%\sqrt{s}$%.

Итак, пусть $%t > 1$%. Допустим, что существуют рациональные $%a$%, $%b$% такие, что $%(a+b\sqrt{t})^2=s$%. Раскрывая скобки в правой части, имеем $%a^2+tb^2+2ab\sqrt{t}=s$%. Поскольку число $%\sqrt{t}$% иррационально, коэффициент при нём равен нулю, откуда $%b=0$% или $%a=0$%.

Первый случай даёт $%a^2=s$%, то есть $%\sqrt{s}=|a|$%, что противоречит иррациональности квадратного корня из $%s$%. Во втором случае $%b^2t=s$%. Представляя $%b$% в виде обыкновенной дроби $%\pm\frac{u}v$%, где $%u$%, $%v$% натуральные, имеем $%u^2t=v^2s$%. Сравнивая показатели степени при числе $%p$%, видим, что значение слева чётно (так как $%t$% не делится на $%p$%), а справа оно нечётно (так как $%s$% делится на $%p$%, будучи свободным от квадратов).

ссылка

отвечен 23 Дек '17 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,137
×385

задан
23 Дек '17 4:50

показан
343 раза

обновлен
23 Дек '17 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru