G<A_k, |G|>=k*(k-2)!/2. Доказать, что G=A_k.

задан 23 Дек '17 13:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

При k=4 это утверждение неверно: в A4 есть подгруппа V4 порядка 4.

Пусть k>=5. Тогда знакопеременная группа A_k проста. Если в ней есть подгруппа G индекса <=k-1 (именно это дано в условии), то есть и нормальная подгруппа индекса <=(k-1)! (это довольно общий известный факт). Тогда она неединична ввиду неравенства k!/2 > (k-1)!, что противоречит простоте группы.

ссылка

отвечен 23 Дек '17 15:32

@falcao, не могли бы Вы, пожалуйста, сформулировать в общем этот факт

(23 Дек '17 16:55) Huntelar

@Huntelar: общий факт такой: если G -- произвольная группа (даже не обязательно конечная), и H -- её подгруппа индекса n, то существует подгруппа N, нормальная в G и содержащаяся в H, индекс которой в G не больше n!. Это полезное утверждение, час то используемое при решении задач. Доказывается оно так: G действует перестановками на множестве {Hg1,...,Hg_n} правых смежных классов по H путём домножения справа на элементы G. Это даёт гомоморфизм в симметрическую группу Sn. Его ядро N обладает требуемым свойством.

(23 Дек '17 17:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×548
×51

задан
23 Дек '17 13:32

показан
52 раза

обновлен
23 Дек '17 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru