|
Прямая y=ax+b пересекает квадрат -1<=x<=2, 1<=y<=4. Изобразить на координатной плоскости область точек с координатами (a,b). Найти площадь части области, ограниченной полосой |a|<=2. Такое задание было в олимпиаде, которую я недавно писал. Объясните, пожалуйста, как решать. Заранее спасибо! задан 16 Мар '13 19:45 
Majestic118 |
|
Множеством значений функции $%y=ax+b$%, заданной не отрезке $%[-1;2]$%, будет отрезок $%[b-a,b+2a]$% при $%a > 0$%, одноточечное множество $%\{b\}$% при $%a=0$% и отрезок $%[b+2a,b-a]$% при $%a < 0$%. Теперь надо определить, при каких условиях эти множества будут пересекать отрезок $%[1;4]$%. Пусть $%a > 0$%. Отрезки не будут пересекаться, если один из них лежит строго левее другого. Это значит, что $%b+2a < 1$% или $%4 < b-a$%. Соответственно, они будут пересекаться, если $%b+2a\ge1$% и $%4\ge b-a$%. Теперь надо в правой полуплоскости, ограниченной прямой $%a=0$%, нарисовать два луча, которые лежат на прямых $%b=1-2a$% и $%b=a+4$%, рассматривая область, расположенную выше первого из них и ниже второго. При $%a=0$% надо нарисовать отрезок оси $%Ob$% от $%1$% до $%4$%. Если $%a < 0$%, то аналогичное рассуждение показывает, что в левой полуплоскости, ограниченной прямой $%a=0$%, надо изобразить лучи, лежащие на прямых $%b=4-2a$% и $%b=a+1$%, беря область, расположенную между ними. Искомой фигурой будет плоскость с двумя вырезанными углами. Полоса $%|a|\le2$% в пересечении с этой фигурой образует две трапеции. Обе они имеют основания $%3$% и $%9$%, и высоту $%2$%. Суммарная площадь составляет $%24$%. отвечен 16 Мар '13 20:42 
falcao |
|
Найдем $%a, b$%, при которых прямая не пересекает квадрат.
$$[\begin{cases}2a+b<1,\\a\ge0.\end{cases};\begin{cases}2a+b>4,\\a\le0.\end{cases};\begin{cases}-a+b<1,\\a\le0.\end{cases};\begin{cases}-a+b>4,\\a\ge0.\end{cases}.]$$
Множество точек, удовлетворяющих неравенству $%|a|\le2$% - две трапеции: $%AB41;DC41.$% Площадь каждой трапеции равна 12, площадь всей области - 24. отвечен 16 Мар '13 22:39 
Anatoliy |
