Найти число матриц размера 5×6 над полем F2, имеющих ранг 4.

задан 24 Дек '17 12:06

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть v1, ... , v5 -- строки матрицы. По условию, эта система линейно зависима (в противном случае она имела бы ранг 5). Рассмотрим уравнение линейной зависимости a1v1+...a5v5=0, где не все коэффициенты равны нулю. Рассмотрим ненулевой коэффициент с максимальным номером. Пусть этот номер равен j. Тогда вектор vj выражается через предыдущие векторы системы. Заметим, что возможен случай j=1, когда предыдущих векторов нет, и тогда это означает, что вектор v1 нулевой.

Удалим из системы вектор vj. Линейная оболочка не изменится, то есть её размерность равна 4. Векторов в этой системе тоже 4, то есть v1, ... , v5 с пропущенным vj линейно независима. Подсчитаем количество таких линейно независимых систем из 4 векторов. Всего у нас в пространстве строк имеется 2^6 векторов. Первый вектор системы -- любой ненулевой; 2^6-1 вариантов. Второй вектор -- любой, не пропорциональный первому. Вариантов 2^6-2. Теперь первые два вектора образуют линейно независимую систему, порождая подпространство размерности 2. В нём 2^2 векторов, поэтому третий вектор можно выбрать 2^6-2^2 способами. Наконец, последний (то есть 4-й) вектор можно выбрать 2^6-2^3 способами.

Общее число линейно независимых систем из 4 векторов равно (2^6-1)(2^6-2)(2^6-4)(2^6-8). Теперь фиксируем одну из таких систем, и вставляем в неё пятый вектор. Если он вставляется на первое место, то он нулевой: 1 способ. Если на второе, то он пропорционален первому: 2 способа. Если на третье, то он принадлежит линейной оболочке первых двух векторов: 4 способа. И так далее, и для пятого места получится 2^4 вариантов. Итого будет 1+2+2^2+2^3+2^4=2^5-1 способов вставить пятый вектор. Домножая предыдущее произведение на эту величину, получим количество матриц ранга 4.

ссылка

отвечен 24 Дек '17 15:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×880

задан
24 Дек '17 12:06

показан
39 раз

обновлен
24 Дек '17 15:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru