пределы - Существование предела

Если доказано, что предел существует, то дальше его значение легко найти из уравнения. Полезно бывает знать заранее, чему он может быть равен. Все члены последовательности у нас положительны, и если предел равен $%x$% и он при этом тоже положителен, то при переходе к пределу в уравнении получается $%x=\frac{x}2+\frac1x$%, то есть $%x=\sqrt2$%.

Существование предела доказывают обычно через ограниченность и монотонность. В похожих задачах бывают чуть более сложные случаи, когда сама последовательность не монотонна, но монотонными будут подпоследовательности с чётными и нечётными членами. Тогда стратегия примерно та же, но в данной задаче всё проще. Первые три члена равны $%2$%, $%\frac32$%, $%\frac{17}{12}$%. Видно, что имеет место убывание, то есть именно его и надо доказывать. Рассматриваем разность соседних членов: $%x_{n+1}-x_n=\frac{2-x_n^2}{2x_n}$%. Мы хотим доказать, что эта величина меньше нуля. Это будет следовать, если проверить, что $%x_n > \sqrt2$% для всех членов последовательности. Для первого члена это верно, а для остальных членов можно использовать неравенство о среднем: $%x_{n +1}=\frac{x_n}2+\frac1{x_n}\ge2\sqrt{\frac{x_n}2\cdot\frac1{x_n}}=\sqrt2$%. Неравенство здесь будет строгим, так как равенство в нём возможно лишь при $%\frac{x_n}2=\frac1{x_n}$%, но это означало бы $%x_n =\sqrt2$%, чего быть не может, так как все члены последовательности у нас рациональны.

В итоге мы имеем строго убывающую последовательность $%x_1 > x_2 > \cdots > x_n > \cdots$%, ограниченную снизу не только нулём, но и числом $%\sqrt2$%. Значит, она имеет предел, который не меньше $%\sqrt2$%, и потому он строго положителен.