Как доказать существование предела вот такой последовательности? $$ x_{n + 1} = \frac{x_{n}}{2} + \frac{1}{x_{n}},$$ $$ x_{1} = 2$$ И какая в целом стратегия доказательства существования пределов у рекуррентных последовательностей?

задан 24 Дек '17 13:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если доказано, что предел существует, то дальше его значение легко найти из уравнения. Полезно бывает знать заранее, чему он может быть равен. Все члены последовательности у нас положительны, и если предел равен $%x$% и он при этом тоже положителен, то при переходе к пределу в уравнении получается $%x=\frac{x}2+\frac1x$%, то есть $%x=\sqrt2$%.

Существование предела доказывают обычно через ограниченность и монотонность. В похожих задачах бывают чуть более сложные случаи, когда сама последовательность не монотонна, но монотонными будут подпоследовательности с чётными и нечётными членами. Тогда стратегия примерно та же, но в данной задаче всё проще. Первые три члена равны $%2$%, $%\frac32$%, $%\frac{17}{12}$%. Видно, что имеет место убывание, то есть именно его и надо доказывать. Рассматриваем разность соседних членов: $%x_{n+1}-x_n=\frac{2-x_n^2}{2x_n}$%. Мы хотим доказать, что эта величина меньше нуля. Это будет следовать, если проверить, что $%x_n > \sqrt2$% для всех членов последовательности. Для первого члена это верно, а для остальных членов можно использовать неравенство о среднем: $%x_{n +1}=\frac{x_n}2+\frac1{x_n}\ge2\sqrt{\frac{x_n}2\cdot\frac1{x_n}}=\sqrt2$%. Неравенство здесь будет строгим, так как равенство в нём возможно лишь при $%\frac{x_n}2=\frac1{x_n}$%, но это означало бы $%x_n =\sqrt2$%, чего быть не может, так как все члены последовательности у нас рациональны.

В итоге мы имеем строго убывающую последовательность $%x_1 > x_2 > \cdots > x_n > \cdots$%, ограниченную снизу не только нулём, но и числом $%\sqrt2$%. Значит, она имеет предел, который не меньше $%\sqrt2$%, и потому он строго положителен.

ссылка

отвечен 24 Дек '17 16:52

Спасибо большое!

(24 Дек '17 16:54) FrostABC
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x_{n+1}-x_n=\frac1x_n-\frac{x_n}2 \ le 0,$% если $%x_n\le 2.$% Поэтому послед-сть не возрастает и ограничена снизу нулем, т.е. сходится по т. Вейерштрасса. Далее перейдите в рекуррентном равенстве к пределу и найдите его.Добавляю раз'яснение после замечания @falcao : $%x_{n+1}=\frac1x_n+\frac{x_n}2\ge \sqrt2$% по неравенству Коши.

ссылка

отвечен 24 Дек '17 14:19

изменен 24 Дек '17 16:59

@Амфибрахий: неравенство 1/xn-xn/2 < 0 означает, что xn > sqrt(2), то есть там другое свойство надо проверять.

(24 Дек '17 16:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×647
×278
×43

задан
24 Дек '17 13:41

показан
174 раза

обновлен
24 Дек '17 16:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru