Найти число плоскостей U2 в (F_2)^4, что пересечение U2 и V2 одномерно

задан 24 Дек '17 20:48

А что с чем пересекается? Про V2 тут ничего не пояснено.

(24 Дек '17 23:45) falcao

@falcao, извиняюсь, V2 фиксированная плоскость.

(25 Дек '17 0:42) ESmir

@Henry: то есть то и другое -- двумерные подпространства? И надо выяснить, сколько плоскостей (как двумерных подпространств) пересекает по прямой заданную плоскость?

(25 Дек '17 1:09) falcao

@falcao, да

(25 Дек '17 1:34) ESmir
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я рассуждал так (все плоскости здесь проходят через 0). Одну из плоскостей можно зафиксировать любым способом (это V2). Пусть она порождена векторами 0010 и 0001, как у @Urt. В ней 3 ненулевых вектора. Выбираем один в качестве базиса будущего пересечения. Пусть это a. Это первый базисный вектор для U2. Второй базисный вектор b выбирается из числа 16-4=12 не принадлежащих плоскости. Пара (a,b) и пара (a,a+b) задают ту же плоскость. Других повторений не бывает, так как другая плоскость состоит из 0, a, b, a+b. Поэтому 3*12 делим на 2 и получаем 18.

ссылка

отвечен 26 Дек '17 5:17

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если речь идет о числе плоскостей (а не подпространств, как указано в заголовке), то, по сути дела, требуется для заданных 2-х линейно независимых векторов $% v^1, v^2 $% в $% (F_2)^4, $% образующих $% V_2, $% найти число неэквивалентных наборов 2-х линейно независимых векторов, из которых один (только) линейно зависим с $% \{ v^1, v^2\}. $% Можно выбрать базис $% (F_2)^4, $% так, чтобы $% v^1=(0.0.0.1), v^2=(0.0.1.0), $% Тогда система векторов $% u^1, u^2 $% может быть представлена в виде наборов трех типов:

$% 1) u^1=(0,1, u^1_1, u^1_2) , u^2=(0,0, u^2_1, u^2_2) $% или

$% 2) u^1=(1,0, u^1_1, u^1_2) , u^2=(0,0, u^2_1, u^2_2), $%

$% 3) u^1=(1,1, u^1_1, u^1_2) , u^2=(0,0, u^2_1, u^2_2), $%

в которых компоненты $% u^2_1 $% и $% u^2_2 $% не равны 0 одновременно.

Рассотрев 12 всевозможных наборов первого типа, заметим, что в них учтены по 2 раза одинаковые плоскости. Действительно, любые два набора $% \{(0,1, u^1_1, u^1_2), (0,0, u^2_1, u^2_2)\} $% и $% \{(0,1, u^1_1+ u^2_1, u^1_2+ u^2_2), (0,0, u^2_1, u^2_2)\} $% определяют одну и ту же плоскость. Устранив повторения, получим 6 наборов:

$% \{ 0,1,0,0), (0,0,0,1)\}, \{ 0,1,0,0), (0,0,1,0)\}, \{ 0,1,0,0), (0,0,1,1)\}, $%

$% \{ 0,1,0,1), (0,0,1,0)\}, \{ 0,1,0,1), (0,0,1,1)\}, \{ 0,1,1,0), (0,0,0,1)\}, $%

которые, как нетрудно проверить перебором, определяют различные плоскости.

Заменив первые две компоненты в соответствии с вариантами 2 и 3, получим соответственно 6 наборов второго и третьего типов.

Таким образом, получено 18 различных плоскостей, пересечение каждой из которых с плоскостью $% V_2 $% дает одномерное пространство.

ссылка

отвечен 25 Дек '17 18:03

изменен 26 Дек '17 5:21

1

@Urt: а разве не 18 должно получиться в ответе? Я рассуждал так (все плоскости здесь проходят через 0). Одну из плоскостей можно зафиксировать как у Вас (это V2). В ней 3 ненулевых вектора. Выбираем один в качестве будущего пересечения. Пусть это a. Это первый базисный вектор для U2. Второй базисный вектор b выбирается из числа 16-4=12. Пара (a,b) и пара (a,a+b) задают ту же плоскость. Поэтому 3*12 делим на 2 и получаем 18.

(26 Дек '17 0:32) falcao

@falcao, при подборе плоскости для пересечения с V2 и построения таким образом одномерного пространства, на мой взгляд, нельзя выбирать вектор пересечения. По идее мы должны перебрать всевозможные плоскости U2 и выбрать из них те, которые дают одномерное пересечение. При переборе же всех векторов могут получаться еще другие повторы. Уточнение: выбирать векторы пересечения можно, но нужно корректно удалить все повторы полученных плоскостей.

(26 Дек '17 2:40) Urt
1

@Urt: поскольку пересечение одномерно, мы вправе начать с выбора прямой, которая будет в пересечении. А потом выбрать второй вектор базиса для U2. Повтор может быть только в этом месте, и каждая плоскость учитывается ровно 2 раза.

Если хотите, я могу выписать все 18 случаев, а Вы сравните со своим решением. Ошибки у себя в рассуждении я не вижу.

(26 Дек '17 2:44) falcao

@falcao, конечно, нужно рассеять сомнения... Возможно, я не учел плоскости, которые строятся на зависимых в первых двух компонентах векторах? Но полагаю, что изменением базиса их можно привести к учтенному мной виду...

Я переписал 18 пар векторов, но нужно немного времени.

(26 Дек '17 4:26) Urt

@falcao, действительно, в 2-х указанных мной конструкциях не учтены пары вида: $% 3)(1,1, u^1_1, u^1_2), (0,0, u^2_1, u^2_2) $% - буду править. Спасибо! Но Ваш подход представляется более простым и универсальным. Думаю, полезно было бы его здесь описать. В более общем случае решение тоже становится прозрачным, меняется лишь число вариантов выбора...

(26 Дек '17 5:09) Urt
1

@Urt: конечно, тут надо применять как можно более простой способ, чтобы не запутаться. В принципе, у меня решение дано в комментарии, но я могу его оформить и как ответ.

(26 Дек '17 5:13) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×961

задан
24 Дек '17 20:48

показан
222 раза

обновлен
26 Дек '17 5:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru