Стереометрия

Проведём через точку $%E$% прямую, параллельную $%CD$%, до пересечения с $%SB$% в точке $%K$%, а через $%F$% проведём прямую с таким же свойством до пересечения с $%SC$% в точке $%L$%. Ясно, что $%EFLK$% будет сечением пирамиды плоскостью $%\alpha$%. Это трапеция, основания которой легко найти из подобия треугольников: $%FL=(1/3)DC=2/3$%, $%EK=(5/6)AB=5/3$%. Полусумма оснований составляет $%7/6$%, и для нахождения площади достаточно найти высоту трапеции. Это будет легко сделать, если сначала найти боковую сторону $%EF$%.

Возникает плоская задача: в равнобедренном треугольнике $%SAD$% нам известны все стороны, а также мы знаем длины отрезков $%SE=(5/6)\sqrt{10}$% и $%SF=(1/3)\sqrt{10}$%. Можно дважды воспользоваться теоремой косинусов, находя сначала косинус угла при вершине -- он будет равен $%4/5$%, а затем уже через него выразить сторону $%EF$%, которая окажется равна $%\sqrt{130}/6$%.

Теперь рисуем равнобочную трапецию $%EFLK$%, у которой нам известны все стороны. Опустим из $%F$% на $%KE$% перпендикуляр с основанием $%H$%. Сторону $%EF$% мы только что нашли, а $%EH$% будет равно полуразности оснований трапеции, то есть $%1/2$%. В итоге мы по теореме Пифагора находим высоту трапеции $%FH=11/6$%. Домножая её на полусумму оснований, находим площадь сечения, равную $%77/36$%.