Разложить в степенной ряд в окрестности точки $%x_0=0$% функцию $%f(x)=arctg^2x$% и указать область ее представимости данным рядом. 

задан 25 Дек '17 17:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим известное разложение арктангенса в ряд: $%\arctan x=x-\frac13x^3+\frac15x^5-\frac17x^7+\cdots=x(1+\frac13y+\frac15y^2+\cdots\frac1{2k+1}y^k+\cdots)$%, где $%y=-x^2$%. Произведём формальное перемножение рядов (возведение в квадрат), вводя числа $%a_n=\frac11\cdot\frac1{2n+1}+\frac13\cdot\frac1{2n-1}+\cdots+\frac1{2n+1}\cdot\frac11$%. Для наглядности: $%a_0=1$%, $%a_1=\frac23$%, $%a_2=\frac{23}{45}$%, $%a_3=\frac{44}{105}$%, ... и так далее. Это даёт $%\arctan^2x=x^2(a_0-a_1x^2+a_2x^4-a_3x^5+\cdots)$%.

Областью сходимости ряда для арктангенса является множество $%x\in[-1,1]$%. При $%|x| < 1$% формальное перемножение степенных рядов ведёт к верному результату. Значит, выписанный нами ряд для квадрата арктангенса даёт верное равенство при $%|x| < 1$%. Легко видеть, что $%a_n$% находится между $%\frac1{2n+1}$% и $%1$%, поэтому $%\sqrt[n]{a_n}$% стремится к $%1$%. По формуле Коши - Адамара, радиус сходимости равен $%1$%. Значит, при $%|x| > 1$% наш ряд расходится.

При $%x=\pm1$% имеет место сходимость ряда по при знаку Лейбница. Функция $%\arctan^2x$% является непрерывной на $%[-1,1]$%. Тогда по теореме Абеля о степенных рядах, данный ряд в концевых точках сходится к значению функции, то есть равенство справедливо для всех точек отрезка.

ссылка

отвечен 25 Дек '17 21:09

Так если степенные ряды сходятся при $%x\in[-1,1]$% то их формальное перемножение также сходится при $%x\in[-1,1]$%. Зачем тогда отдельно проверять точки $%x=\pm 1$% ?

(25 Дек '17 22:44) abc
1

@abc: если точка x находится внутри круга сходимости, то ряд в ней сходится абсолютно. Тогда ряды можно перемножать, перегруппировывать члены, и так далее. Если же абсолютной сходимости нет, как в случае с рядом для ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+..., то как быть тогда? Может быть, я здесь где-то излишне "подстраховался"?

(25 Дек '17 23:14) falcao

Да, возможно вы правы, а может в случае степенных рядов такая проверка и правда лишняя. Кто знает..

(26 Дек '17 1:09) abc
1

@abc: если возвести в квадрат ряд типа $%1-x/\sqrt2+x^2/\sqrt3-\cdots$%, то там в произведении получатся какие-то большие коэффициенты, и ряд сходиться не будет.

(26 Дек '17 2:55) falcao

Интересно.. надо будет разобраться что за зверь

(26 Дек '17 3:05) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×375
×111

задан
25 Дек '17 17:39

показан
143 раза

обновлен
26 Дек '17 3:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru