Доказать, что всякая конечная подгруппа в SL2(Q) является подгруппой одной из следующих групп: D3, D4, D6. Указания: 1, 2, 3.

задан 25 Дек '17 19:44

10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут вроде как в указаниях почти всё содержится.

Первый шаг -- по стандартному скалярному произведению строим "усреднённое". Удобно заодно разделить на $%|G|$%, как это чаще всего делают. То есть, $%\langle x,y\rangle=\frac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}(gx,gy)$%. Все свойства скалярного произведения при этом наличествуют. Если $%h\in G$% -- элемент группы, то элементы вида $%hg$%, где $%g$% пробегает $%G$%, образуют некоторую перестановку элементов той же группы. Отсюда следует, что $%\langle hx,hy\rangle=\langle x,y\rangle$% для всех $%h\in G$%. То есть для нового скалярного произведения, все элементы группы действуют как ортогональные операторы.

Известно, что все евклидовы пространства данной конечной размерности изоморфны. Поэтому для нового скалярного произведения, речь может идти о преобразованиях обычной плоскости, сохраняющих длины, то есть о движениях. Они все сохраняют начало координат, и тогда из геометрических соображений следует, что это повороты относительно $%O$% или отражения относительно осей, через $%O$% проходящих.

Второй шаг: доказываем, что конечная группа движений с такими свойствами содержится в группе диэдра. Пусть $%H$% -- пересечение $%G$% с подгруппой поворотов плоскости. Легко видеть, что индекс $%H$% в $%G$% не больше двух. Рассмотрим произвольную точку плоскости, и рассмотрим её орбиту относительно $%H$%, то есть множество её образов относительно всех элементов подгруппы. Все получившиеся точки лежат на одном и том же расстоянии от начала координат. Пусть количество этих точек равно $%n$%. Покажем, что они лежат в вершинах правильного $%n$%-угольника, то есть разбивают окружность на дуги равной длины.

Пусть при движении по часовой стрелки от точки $%A$% нашего множества, ближайшей является точка $%B$% того же множества. Тогда этим же свойством обладает любая точка $%C$% этого множества. В самом деле, по построению, найдётся элемент группы $%h\in H$% такой, что $%C=hA$%. Тогда ближайшей к $%C=hA$% при движении по часовой стрелке будет точка $%D=hB$%. Из этого следует, что все дуги имеют равные длины, то есть $%H$% содержится в циклической группе $%\mathbb Z_n$%. Пусть $%a$% -- образующий этой группы; для него $%a^n=e$%.

Если $%G=H$%, то доказывать нечего. Если $%H < G$%, то существует элемент $%b\in G\setminus H$%. Это осевая симметрия, то есть $%b^2=e$%, причём $%G=H\cup bH$%. Тогда $%ba$% -- тоже осевая симметрия, и $%(ba)^2=e$%. Тогда $%b^{-1}ab=a^{-1}$%, и мы получили соотношения группы диэдра $%D_n$% для подгруппы, порождённой элементами $%a$% и $%b$%. В ней содержится $%G$%, откуда $%G\le D_n$%.

Третий шаг: рассматриваем следы матриц отображений. Выше мы выбирали $%n$% таким образом, что в $%G$% есть поворот на угол $%\frac{2\pi}n$%. Матрица такого поворота на главной диагонали имеет числа, равные косинусу этого угла, то есть её след равен $%2\cos\frac{2\pi}n$%. Это число рационально, так как изначально матрицы были с рациональными коэффициентами, а при переходе к другому базису след не меняется.

Остальное, фактически, следует из указаний, но можно пояснить и чуть по-другому. Число $%2\cos\frac{2\pi}n$% является целым алгебраическим, то есть является корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $%1$%. Проще всего это следует из того факта, что комплексные числа $%z=\exp(\pm\frac{2\pi}n)$% обладают этим свойством, являясь корнями многочлена $%z^n=1$%. Их сумма также будет целым алгебраическим числом, так как эти числа образуют кольцо (это общий факт, доказательство которого можно при желании найти в "Алгебре" Ленга). Рациональные целые алгебраические числа являются целыми, что представляет собой элементарное утверждение. Значит, $%2\cos\frac{2\pi}n$% есть целое число, значения которого могут быть от $%\pm2$% до $%2$%. Отсюда всё следует уже напрямую.

ссылка

отвечен 26 Дек '17 1:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,455
×730

задан
25 Дек '17 19:44

показан
92 раза

обновлен
26 Дек '17 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru