Пусть F -конечное поле. Доказать, что для всякого отображения $%h: F^{n}\rightarrow F $% существует многочлен $%f$% из кольца $%F[x_1,...,x_n]$%, для которого $%f(a_1,...,a_n)=h(a_1,...,a_n)$% для любых $%a_1,...,a_n \in F $%
В пояснении к задаче сказано: "Рассмотреть сначала случай отображения $%h$%, принимающего значения $%1$% в одной точке из $%F^{n}%$%, а в остальных точках - значение $%0$%" Преподаватель ещё подсказал использовать тот факт, что поле - конечное. Ещё намекнул на интерполяцию и многочлен Лагранжа.

задан 25 Дек '17 23:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть поле имеет порядок $%p^m$%, где $%m$% простое. Если элемент $%x\in F$% не равен нулю, то $%x^{p^m-1}=1$%. При $%x=0$% значение левой части равно нулю. Это значит, что многочлен $%1-x^{p^m-1}$% задаёт индикаторную функцию нуля: $%\chi_0(x)=1$% при $%x=0$%, и $%\chi_0(x)=0$% при прочих $%x$%.

Далее, для любого $%a\in F$% функция $%\chi_a(x)=\chi_0(x-a)$% является многочленом над $%F$% и задаёт индикаторную функцию элемента $%a$%. Теперь для произвольного отображения $%h\colon F^n\to F$% подойдёт многочлен $$\sum h(a_1,\ldots,a_n)\chi_{a_1}(x_1)\ldots\chi_{a_n}(x_n)$$ от переменных $%x_1,\ldots,x_n$%, где суммирование происходит по всем наборам $%(a_1,\ldots,a_n)\in F^n$%.

ссылка

отвечен 25 Дек '17 23:46

Доказательство верное, но, если не затруднит, прошу ответить на несколько вопросов. 1)хотелось бы привести пример\строгое доказательство того, что этот многочлен - искомый. Интуитивно кажется, что такая сумма в итоге даст что-то вроде $%h(a_1)+h(a_2)+...+h(a_n)$%, но хотелось бы подробнее расписать, как конкретно из $%f(a_1,...,a_n)$% получается ровно $%h(a_1,...,a_n)$% 2)сколько элементов в сумме?

(27 Дек '17 15:55) Aniorp

@Aniorp: элементов в сумме |F|^n, по числу наборов из n элементов поля.

Сумма h(a1)+...+h(an) получиться в принципе не может, так как h есть функция n переменных. Такая запись вообще смысла не имеет.

Доказательство тут состоит в прямой проверке тождества. Зафиксируем набор значений переменных x1,...,xn. Если ai не равно xi, то индикатор с индексом ai в точке xi равен нулю, и всё слагаемое равно 0. Единственное слагаемое, которое может дать не 0, соответствует набору a1=x1,...,an=xn, когда все индикаторы равны 1. Тогда это слагаемое равно h(a1,...,an)=h(x1,...,xn), и это есть значение суммы.

(27 Дек '17 16:45) falcao

Это очень помогает разобраться, премного благодарен!

(27 Дек '17 17:10) Aniorp
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×393
×376
×142

задан
25 Дек '17 23:33

показан
263 раза

обновлен
27 Дек '17 17:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru