стереометрия - Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью

Эта задача решается примерно тем же способом, как и предыдущая, о которой Вы спрашивали.

Обозначим середины рёбер $%SD$% и $%SE$% через $%K$% и $%L$% соответственно. Ясно, что $%KL$% параллельна $%DE$% как средняя линия треугольника, а $%DE$% как сторона правильного пятиугольника параллельна его диагонали $%AC$%. Значит, прямая $%AC$% лежит в плоскости сечения, которое будет равнобочной трапецией $%ACKL$%.

Для нахождения стороны $%AC$% рассмотрим правильный пятиугольник. Проведём диагональ $%BE$%, пересекающую $%AC$% в точке $%O$%. Ясно, что $%OCDE$% -- параллелограмм, и $%OC=DE=a$%. Обозначим через $%x$% длину диагонали пятиугольника. Понятно, что $%OA=x-a$%. Из подобия треугольников $%OAB$% и $%OCE$% составляем пропорцию: $%OA:AB=OC:CE$%, то есть $%(x-a):a=a:x$%. Имеем квадратное уравнение $%x^2-ax-a^2=0$%, положительный корень которого относительно $%x$% равен $%(1+\sqrt{5})a/2$%. Это длина диагонали правильного пятиугольника со стороной $%a$%.

Теперь найдём боковую сторону трапеции, то есть $%AL$%. Здесь надо рассмотреть треугольник $%ASE$% (лучше всего -- на отдельном плоском чертеже). Положим $%m=AL$% -- это длина медианы треугольника. Её можно найти так: достроить треугольник до параллелограмма $%ASME$%, центром которого служит $%L$%, и воспользоваться тем, что сумма квадратов диагоналей параллограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. Отсюда $%(2m)^2+b^2=2(a^2+b^2)$%, то есть $%m^2=(2a^2+b^2)/4$%. (Корень здесь можно не извлекать, так как потом будет использован квадрат боковой стороны, а не она сама.)

Теперь изобразим третий плоский чертёж -- трапецию $%ACKL$%. Её основания равны $%(1+\sqrt{5})a/2$% и $%a/2$%; их полусумма составляет $%(2+\sqrt{5})a/4$%. Осталось найти высоту. Опустим её из точки $%L$% на $%AC$% и обозначим её основание через $%H$%. Как и в прошлой аналогичной задаче, $%AH$% есть полуразность оснований, то есть $%a\sqrt{5}/4$%. Осталось применить теорему Пифагора к треугольнику $%ALH$% и найти $%LH^2=m^2-5a^2/16=(3a^2+4b^2)/16$%. Извлекая корень и домножая на полусумму оснований, находим площадь сечения. Она равна $%(2+\sqrt{5})a\sqrt{3a^2+4b^2}/16$%.