Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, проходящей через вершину А основания и середины рёбер SD и SE. Найдите площадь сечения, если боковая сторона пирамиды равна a, a боковое ребро равно b.

задан 17 Мар '13 16:42

изменен 17 Мар '13 18:42

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Эта задача решается примерно тем же способом, как и предыдущая, о которой Вы спрашивали.

Обозначим середины рёбер $%SD$% и $%SE$% через $%K$% и $%L$% соответственно. Ясно, что $%KL$% параллельна $%DE$% как средняя линия треугольника, а $%DE$% как сторона правильного пятиугольника параллельна его диагонали $%AC$%. Значит, прямая $%AC$% лежит в плоскости сечения, которое будет равнобочной трапецией $%ACKL$%.

Для нахождения стороны $%AC$% рассмотрим правильный пятиугольник. Проведём диагональ $%BE$%, пересекающую $%AC$% в точке $%O$%. Ясно, что $%OCDE$% -- параллелограмм, и $%OC=DE=a$%. Обозначим через $%x$% длину диагонали пятиугольника. Понятно, что $%OA=x-a$%. Из подобия треугольников $%OAB$% и $%OCE$% составляем пропорцию: $%OA:AB=OC:CE$%, то есть $%(x-a):a=a:x$%. Имеем квадратное уравнение $%x^2-ax-a^2=0$%, положительный корень которого относительно $%x$% равен $%(1+\sqrt{5})a/2$%. Это длина диагонали правильного пятиугольника со стороной $%a$%.

Теперь найдём боковую сторону трапеции, то есть $%AL$%. Здесь надо рассмотреть треугольник $%ASE$% (лучше всего -- на отдельном плоском чертеже). Положим $%m=AL$% -- это длина медианы треугольника. Её можно найти так: достроить треугольник до параллелограмма $%ASME$%, центром которого служит $%L$%, и воспользоваться тем, что сумма квадратов диагоналей параллограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. Отсюда $%(2m)^2+b^2=2(a^2+b^2)$%, то есть $%m^2=(2a^2+b^2)/4$%. (Корень здесь можно не извлекать, так как потом будет использован квадрат боковой стороны, а не она сама.)

Теперь изобразим третий плоский чертёж -- трапецию $%ACKL$%. Её основания равны $%(1+\sqrt{5})a/2$% и $%a/2$%; их полусумма составляет $%(2+\sqrt{5})a/4$%. Осталось найти высоту. Опустим её из точки $%L$% на $%AC$% и обозначим её основание через $%H$%. Как и в прошлой аналогичной задаче, $%AH$% есть полуразность оснований, то есть $%a\sqrt{5}/4$%. Осталось применить теорему Пифагора к треугольнику $%ALH$% и найти $%LH^2=m^2-5a^2/16=(3a^2+4b^2)/16$%. Извлекая корень и домножая на полусумму оснований, находим площадь сечения. Она равна $%(2+\sqrt{5})a\sqrt{3a^2+4b^2}/16$%.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 17:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сечением будет равнобочная трапеция с основаниями, одно из которых $%\frac{a}{2}$%, а второе диагональ правильного многоугольника. Найдите угол наклона боковой грани к основанию. Далее нужно вспомнить соотношения в правильном многоугольнике. Найдите высоту трапеции (теорема косинусов), а затем и ее площадь.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 17:06

изменен 17 Мар '13 18:58

@Anatoliy: одно из оснований трапеции равно $%a/2$%, но другое не равно $%a$%. Там ведь оно не через сторону пятиугольника проходит, а через диагональ.

(17 Мар '13 18:48) falcao

Верно. Большее основание - диагональ правильного пятиугольника. Это появилось по причине средней линии. Спасибо.

(17 Мар '13 18:54) Anatoliy

Я не планировал расписывать эту задачу подробно. Считаю, что этому ученику нужно и самому немножко прилагать усилия (направление было указано). Все-таки азарт на форуме присутствует. И каждый вправе выбирать то, что ему подходит.

(17 Мар '13 19:06) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×387

задан
17 Мар '13 16:42

показан
2568 раз

обновлен
17 Мар '13 19:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru