Доброго времени суток. Вопрос как доказать следующие(док-во должно быть формализованным). Свойство: Если функция f - вогнута то, точка глобального максимума, по крайне мере одна, находится на концах отрезка.

задан 17 Мар '13 17:24

изменен 17 Мар '13 18:42

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

Примем в качестве определения вогнутости условие $$f \left( \alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \right ) \geq \alpha f(x_1) + (1 - \alpha)f(x_2)$$ для любых двух точек $%x_1$% и $%x_2$% и $%0 \leq \alpha \leq 1.$% $$$$ Пусть вогнутая функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Для произвольной точки x интервала (a;b) положим $$\alpha = \frac{b-x}{b-a}.$$ Тогда $$f(x)=f \left( \alpha a + (1-\alpha) b) \right ) \geq \alpha f(a) + (1 - \alpha)f(b).$$ Следовательно, $%f(x) \geq f(a)$% либо $%f(x) \geq f(b)$%, что равносильно тому, что точка глобального миниимума, по крайне мере одна, находится на концах отрезка.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 18:44

В этом док-ве мне все понравилось. Но вот это следствие "Следовательно, f(x)≥f(a) либо f(x)≥f(b)" меня если честно смущает. Я так понимаю вы рассмотрели частные случаи α?

(17 Мар '13 19:10) ligorlwow

Нет, конечно. $%\alpha$% вычисляется, исходя из произвольного х по указанной формуле. Вывод непосредственно следует из того, что если оба последних неравенства нарушены, то $%\alpha f(a) + (1 - \alpha)f(b) > \alpha f(x) + (1 - \alpha)f(x) = f(x)$% - противоречие.

(17 Мар '13 19:15) splen

Если не сложно. Можно поподробнее про противоречие, буду очень благодарен. Видимо я чего-то недопонимаю(

(17 Мар '13 19:34) ligorlwow

Можно даже так: пусть $%x_m$% - та из двух точек а и в, в которой значение функции не больше, чем в другой, т.е. $%f(a) \geq f(x_m)$% и $%f(b) \geq f(x_m).$% Тогда, продолжая последнее неравенство, получим: $$f(x) \geq \alpha f(a) + (1 - \alpha ) f(b) \geq \alpha f(x_m) + (1 - \alpha ) f(x_m) = f(x_m),$$ что, по определению, означает, что $%x_m$% - точка глобального минимума.

(17 Мар '13 19:36) splen

Кстати, точку х можно считать принадлежащей отрезку (а не интервалу).

(17 Мар '13 19:42) splen
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) $%f(\alpha\cdot a+(1-\alpha)\cdot b)\le \alpha\cdot f(a)+(1-\alpha)\cdot f(b), \alpha\in[0;1] - $% условие вогнутости.

2) Функция $%p(\alpha)=\alpha\cdot f(a)+(1-\alpha)\cdot f(b)- $% монотонная.

3) Из 1) и 2) следует требуемое утверждение.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 17:37

Хм. По моему утверждение не следует из первого и второго. Конечно - это очевидно но это не есть формализованный ответ.

(17 Мар '13 17:52) ligorlwow

В вопросе закралась ошибка. (глобального минимума)

(17 Мар '13 18:01) ligorlwow

Для глобального минимума аналогично - нужно поменять знак неравенства. Есть понятие "выпуклая вверх, вниз", поэтому нужно уточнять, что значит "вогнута". Я думаю, что 1) и 2) достаточно. Можно, правда, "развернуть", но это не составляет большого труда.

(17 Мар '13 18:16) Anatoliy

Хм. Пойдем с другой стороны. Откуда мы получили 3 - утверждение. (В смысле теорема, лемма). (не имеет значение выпуклость или вогнутость)

(17 Мар '13 18:27) ligorlwow

Функция $%p(x)=xf(a)+(1-x)f(b)-$% линейная, значит наименьшее и наибольшее значение она принимает на концах отрезка, на котором она рассматривается. Но, значение функции $%f(x)$% на этом отрезке меньше значения соответствующего значения линейной функции, равенство достигается на одном из концов этого отрезка.

(17 Мар '13 18:38) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут все доказательства верные, но чтобы было понятнее, выразим это следующими словами. Есть вогнутая (вниз) функция, заданная на отрезке. Проведём хорду графика, соединяя его крайние точки. Из вогнутости следует, что график лежит не выше этой хорды. Поэтому все значения функции на отрезке не превосходят максимума значений линейной функции на концах. А эти значения функцией достигаются, так как на концах они совпадают для обеих функций.

ссылка

отвечен 17 Мар '13 19:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×67

задан
17 Мар '13 17:24

показан
1138 раз

обновлен
17 Мар '13 19:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru