|
Доброго времени суток. Вопрос как доказать следующие(док-во должно быть формализованным). Свойство: Если функция f - вогнута то, точка глобального максимума, по крайне мере одна, находится на концах отрезка. задан 17 Мар '13 17:24 
ligorlwow |
|
Примем в качестве определения вогнутости условие $$f \left( \alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \right ) \geq \alpha f(x_1) + (1 - \alpha)f(x_2)$$ для любых двух точек $%x_1$% и $%x_2$% и $%0 \leq \alpha \leq 1.$% $$$$ Пусть вогнутая функция f(x) задана на отрезке [a;b]. Для произвольной точки x интервала (a;b) положим $$\alpha = \frac{b-x}{b-a}.$$ Тогда $$f(x)=f \left( \alpha a + (1-\alpha) b) \right ) \geq \alpha f(a) + (1 - \alpha)f(b).$$ Следовательно, $%f(x) \geq f(a)$% либо $%f(x) \geq f(b)$%, что равносильно тому, что точка глобального миниимума, по крайне мере одна, находится на концах отрезка. отвечен 17 Мар '13 18:44 
splen В этом док-ве мне все понравилось. Но вот это следствие "Следовательно, f(x)≥f(a) либо f(x)≥f(b)" меня если честно смущает. Я так понимаю вы рассмотрели частные случаи α?
(17 Мар '13 19:10)
ligorlwow
Нет, конечно. $%\alpha$% вычисляется, исходя из произвольного х по указанной формуле. Вывод непосредственно следует из того, что если оба последних неравенства нарушены, то $%\alpha f(a) + (1 - \alpha)f(b) > \alpha f(x) + (1 - \alpha)f(x) = f(x)$% - противоречие.
(17 Мар '13 19:15)
splen
Если не сложно. Можно поподробнее про противоречие, буду очень благодарен. Видимо я чего-то недопонимаю(
(17 Мар '13 19:34)
ligorlwow
Можно даже так: пусть $%x_m$% - та из двух точек а и в, в которой значение функции не больше, чем в другой, т.е. $%f(a) \geq f(x_m)$% и $%f(b) \geq f(x_m).$% Тогда, продолжая последнее неравенство, получим: $$f(x) \geq \alpha f(a) + (1 - \alpha ) f(b) \geq \alpha f(x_m) + (1 - \alpha ) f(x_m) = f(x_m),$$ что, по определению, означает, что $%x_m$% - точка глобального минимума.
(17 Мар '13 19:36)
splen
Кстати, точку х можно считать принадлежащей отрезку (а не интервалу).
(17 Мар '13 19:42)
splen
|
|
1) $%f(\alpha\cdot a+(1-\alpha)\cdot b)\le \alpha\cdot f(a)+(1-\alpha)\cdot f(b), \alpha\in[0;1] - $% условие вогнутости. 2) Функция $%p(\alpha)=\alpha\cdot f(a)+(1-\alpha)\cdot f(b)- $% монотонная. 3) Из 1) и 2) следует требуемое утверждение. отвечен 17 Мар '13 17:37 
Anatoliy Хм. По моему утверждение не следует из первого и второго. Конечно - это очевидно но это не есть формализованный ответ.
(17 Мар '13 17:52)
ligorlwow
В вопросе закралась ошибка. (глобального минимума)
(17 Мар '13 18:01)
ligorlwow
Для глобального минимума аналогично - нужно поменять знак неравенства. Есть понятие "выпуклая вверх, вниз", поэтому нужно уточнять, что значит "вогнута". Я думаю, что 1) и 2) достаточно. Можно, правда, "развернуть", но это не составляет большого труда.
(17 Мар '13 18:16)
Anatoliy
Хм. Пойдем с другой стороны. Откуда мы получили 3 - утверждение. (В смысле теорема, лемма). (не имеет значение выпуклость или вогнутость)
(17 Мар '13 18:27)
ligorlwow
Функция $%p(x)=xf(a)+(1-x)f(b)-$% линейная, значит наименьшее и наибольшее значение она принимает на концах отрезка, на котором она рассматривается. Но, значение функции $%f(x)$% на этом отрезке меньше значения соответствующего значения линейной функции, равенство достигается на одном из концов этого отрезка.
(17 Мар '13 18:38)
Anatoliy
|
|
Тут все доказательства верные, но чтобы было понятнее, выразим это следующими словами. Есть вогнутая (вниз) функция, заданная на отрезке. Проведём хорду графика, соединяя его крайние точки. Из вогнутости следует, что график лежит не выше этой хорды. Поэтому все значения функции на отрезке не превосходят максимума значений линейной функции на концах. А эти значения функцией достигаются, так как на концах они совпадают для обеих функций. отвечен 17 Мар '13 19:20 
falcao |