alt text

С помощью гугла, я сделал так:

alt text

Но я не понял преобразование под цифрой 1.

задан 27 Дек '17 1:35

изменен 27 Дек '17 15:04

Как-то нелепо звучит вопрос... у Вас есть некая формула, данная в ощущениях... то есть по определению ...

А доказывать видимо надо то, что это действительно норма... ну, так проверяйте определение: ноль только на нулевом элементе, неравенство треугольника и "однородность"...

(27 Дек '17 6:44) all_exist

@all_exist Я изменил вопрос.

(27 Дек '17 15:02) Rcr9

@all_exist я действительно не понимаю как в ответе возникает max.

(27 Дек '17 15:06) Rcr9

@Rcr9: был sup, стал max. По смыслу, это практически то же самое. Тем более, что здесь sup достигается.

Только там sup берётся не по всем векторам, а по ненулевым. И одного неравенства там мало -- надо ещё привести пример вектора, на котором равенство достигается.

(27 Дек '17 18:26) falcao

@falcao берется максимум конкретной строки, не понятно, там же должна быть сумма по столбцам.

(27 Дек '17 18:39) Rcr9

@Rcr9: давайте я тогда напишу "развёрнуто". Так будет проще.

(27 Дек '17 23:15) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я буду опускать индекс 1 снизу у всех знаков нормы.

Удобно рассматривать векторы с нормой 1, то есть такие, для которых $%|x_1|+\cdots+|x_n|=1$%. На этом подмножестве рассматривается супремум (или максимум, если таковой достигается) нормы образа, то есть $%\|Ax\|$%. По определению умножения матриц, $%Ax$% есть вектор-столбец, у которого $%i$%-я координата равна произведению $%i$%-й строки матрицы на вектор $%x$%, то есть это сумма $%\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j$%. Нормой вектора является сумма модулей этих чисел, то есть $%\|Ax\|=\sum\limits_{i=1}^n|\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_j|\le\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n|a_{ij}|\cdot|x_j|=\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|\right)|x_j|$%. Заметим, что коэффициент при $%|x_j|$% (сумма модулей чисел $%j$%-го столбца) не превосходит максимальной из таких сумм, равной $%\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$%. Отсюда $%\|Ax\|\le\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|\cdot\sum\limits_{j=1}^n|x_j|=\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$%. Правая часть не зависит от $%x$%, а неравенство выполняется для всех векторов $%x$%, норма которых равна 1. Отсюда $%\|A\|\le\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$%.

Осталось показать, что на некотором векторе $%x$% достигается равенство. Пусть максимум сумм модулей чисел в столбцах матрицы достигается на $%k$%-м столбце, то есть $%\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|=\sum\limits_{i=1}^n|a_{ik}|$%. Возьмём в качестве $%x$% единичный вектор-столбец под номером $%k$%, то есть положим $%x_k=1$% и $%x_j=0$% при $%j\ne k$%. Ясно, что $%\|x\|=1$%, а вектор $%Ax$% есть $%k$%-й столбец матрицы $%A$%. Его норма, то есть $%\|Ax\|$%, равна сумме модулей чисел этого столбца, то есть $%\sum\limits_{i=1}^n|a_{ik}|=\max\limits_{1\le j\le n}\sum\limits_{i=1}^n|a_{ij}|$%.

ссылка

отвечен 27 Дек '17 23:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×880
×26

задан
27 Дек '17 1:35

показан
54 раза

обновлен
27 Дек '17 23:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru