Доказать , что всякое бесконечное (как множество) ассоциативное кольцо с единицей , не являющееся полем , содержит бесконечное подмножество необратимых элементов

задан 27 Дек '17 10:47

10|600 символов нужно символов осталось
0

Кольцо здесь не предполагается коммутативным, поэтому обратимость означает двустороннюю обратимость.

Поскольку у нас не поле, имеется ненулевой элемент, который не обратим. Тогда он не обратим слева или справа. Оба случая аналогичны; рассмотрим первый.

Пусть a необратим слева. Тогда ra необратим слева для любого r из кольца. В частности, такой элемент необратим. Если элементов такого вида в кольце бесконечно много, то всё доказано. Предположим, что множество этих элементов конечно. Тогда из бесконечности кольца следует, что для бесконечного множества элементов кольца значение ra будет одним и тем же. Обозначим это значение через r0a. Тогда ra=r0a для бесконечно многих r. Значит, (r-r0)a=0 для бесконечно многих r-r0. Иными словами, у элемента a бесконечен левый аннулятор, то есть множество таких x, для которых xa=0. Каждый ненулевой элемент этого аннулятора является левым делителем нуля в кольце. Он необратим слева, то есть необратим, и таких элементов бесконечно много.

ссылка

отвечен 27 Дек '17 16:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,485
×206

задан
27 Дек '17 10:47

показан
87 раз

обновлен
27 Дек '17 16:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru