Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений группы порядка 55.
Можно считать доказанным:
1. $%G$% - абелева $%\Rightarrow 55$% одномерных представлений;
2. $%G$% - не абелева $%\Rightarrow 5$% одномерных представлений.
Т. к. имеется формула $%|G|=\sum_{i=1}^{r} n_{i}^{2}$%, где $%r$% - количество н. к. представлений, где $%n_i=dim(\rho_i)$%, то осталось выяснить, какой из следующих способов расписать сумму квадратов размерностей верный:
$%50=2\ast 5^2$%; $%50=3^2+4^2+5^2$%; $%50=2\ast3^2+2\ast4^2$%

Желательно не использовать без доказательства тот факт, что размерности н. к. представлений делят порядок группы (отсюда сразу вытекает верность 1 варианта).
Но, предполагаю, задачу можно решить, используя теорему о том, что количество н. к. представлений конечной группы равно числу классов сопряженности.
Соответственно, необходимо доказать, что число классов сопряженности $%G$% для $%|G|=55$% равняется $%7$%.

задан 29 Дек '17 2:23

изменен 29 Дек '17 2:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

Неабелева группа порядка 55 с точностью до изоморфизма всего одна. Её структура известна. Берётся циклическая группа Z(11), и расширяется при помощи автоморфизма порядка 5. Пусть a -- образующий циклической группы, a^{11}=e. Автоморфизм, который переводит a в a^4, имеет порядок 5, в чём легко убедиться непосредственно. Тогда полагаем b^5=1 и b^{-1}ab=a^4. Соответствующее полупрямое произведение и задаёт группу.

Элемент a при сопряжении степенями b даёт a, a^4, a^5, a^9, a^3, и это будет орбитой элемента a. Можно было также сказать, что a не лежит в центре, порядок его централизатора не меньше 11, а потому он равен 11, и к.с.э. имеет мощность 5. Для элемента a^2 орбита состоит из a^2, a^8, a^10, a^7, a^6. Вместе с единичным элементом получается три к.с.э. из элементов циклической подгруппы Z(11).

Остальные элементы группы имеют порядок 5. Их 44 штуки, а длины орбит там равны 11, так как централизаторы имеют порядок 5. Там получается ещё 4 к.с.э.; итого их 7.

ссылка

отвечен 29 Дек '17 2:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,564
×748

задан
29 Дек '17 2:23

показан
176 раз

обновлен
29 Дек '17 2:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru