ξ распределена равномерно на [0;1], η на [-1;2], Найти функцию распределения случайной величины ξ + 2η. Они независимы между собой.

задан 30 Дек '17 11:26

изменен 30 Дек '17 11:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача действительно несложная, и она решается при помощи геометрической вероятности. Сразу можно заметить, что $%2\eta$% равномерно распределена на $%[-2,4]$%. Рисуем прямоугольник $%(x,y)\in[0,1]\times[-2,4]$%. Его площадь равна $%6$%. Найдём функцию распределения $%F(a)$% случайной величины $%\xi+2\eta$%. Достаточно рассмотреть случай $%a\in[-2,5]$%. Нас интересует площадь той его части, для которой $%x+y\le a$%, и её далее нужно разделить на $%6$%.

1) Пусть $%a\in[-2,-1]$%. Прямая $%x+y=a$% отсекает снизу равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной $%a+2$%. Для этого случая $%F(a)=\frac1{12}(a+2)^2$%.

2) Пусть $%a\in[-1,4]$%. Здесь та же прямая отсекает снизу прямоугольную трапецию, высота которой равна $%1$%, а основания равны $%a+2$% и $%a+1$%. Здесь получается $%F(a)=\frac1{12}(2a+3)$%.

3) Пусть $%a\in[4,5]$%. Сверху от прямой получается равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной $%5-a$%. Здесь будет $%F(a)=1-\frac1{12}(5-a)^2$%.

Осталось при помощи дифференцирования найти плотность. Вне отрезка $%a\in[-2,5]$% она нулевая. На данном отрезке плотность кусочно-линейна, и она равна $%p(a)=\frac16(a+2)$% при $%a\in[-2,-1]$%; далее $%p(a)=\frac16$% при $%a\in[-1,4]$%; наконец, $%p(a)=\frac16(5-a)$% при $%a\in[4,5]$%. График имеет форму равнобедренной трапеции.

ссылка

отвечен 30 Дек '17 12:00

@falcao Спасибо за решение, осознал, не могли бы вы пояснить для общего случая как выбираются рассматриваемые промежутки для а?

(6 Янв 10:48) Viktor133743

@Viktor133743: здесь они выбирались из геометрических соображений. Есть прямоугольник, вытянутый вдоль оси Oy. Рассматриваются прямые вида x+y=a. Среди них выделяются те, которые проходят через вершины прямоугольника. Это и даёт особые значения a как границы промежутков. На каждом из них, вид фигуры, отсекаемой от прямоугольника прямой x+y=a, будет одним и тем же (треугольник; трапеция; дополнение до треугольника).

(6 Янв 11:04) falcao

@falcao Ну а если будут например не равномерные распределения, а какие-то более изощрённые, Коши, например, и рисунок будет не столь очевиден. Тогда придется решать через интегрирование? там же тоже каким-то образом придется выяснять пределы интегрирования, как поступить в таком случае?

(6 Янв 11:08) Viktor133743

@Viktor133743: если известны плотности распределения двух независимых слагаемых, то плотность распределения их суммы даётся формулой свёртки. А для функции распределения там получится интеграл от произведения плотностей по множеству x+y<=a. Если величины распределены не на отрезке, а на прямой, то x от минус до плюс бесконечности, а y от минус бесконечности до a-x. Но тут мало что можно добавить к общим сведениям из учебников.

(6 Янв 11:24) falcao

@falcao Хорошо, спасибо

(6 Янв 11:28) Viktor133743
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,910
×548

задан
30 Дек '17 11:26

показан
61 раз

обновлен
6 Янв 11:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru