РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ $$ \sqrt{1+7\sin^2(x)}=2\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x) $$

задан 2 Янв '18 18:28

изменен 2 Янв '18 19:03

all_exist's gravatar image


41.1k212

Напишите ОДЗ... возведите в квадрат.. там многое упростится и останется лёгкое уравнение...

(2 Янв '18 19:15) all_exist

@all_exist: в качестве ОДЗ здесь выступает вся числовая прямая. Его учёта недостаточно.

(2 Янв '18 19:44) falcao

@falcao, в качестве ОДЗ здесь выписывается неравенство для правой части, которое Вы и написали...

(2 Янв '18 21:54) all_exist

@all_exist: но это не ОДЗ, а дополнительное условие.

(2 Янв '18 22:32) falcao

@falcao, я такие "дополнительные условия" привык относить к ОДЗ уравнения... пожимает плечами ... по крайней мере, в первом комментарии я имел ввиду именно это условие, говоря про ОДЗ...

(2 Янв '18 23:11) all_exist

@all_exist: по-моему, ОДЗ -- это вполне строгое и однозначное понятие. Это множество всех x, при которых определены левая и правая часть. Если же относить сюда какие-то следствия, то так можно сузить "ОДЗ" до множества решений :)

(2 Янв '18 23:24) falcao

@falcao, традиционно, останусь при своих... )))

(2 Янв '18 23:34) all_exist

Я тут на одном форуме долго наблюдал( форум такой довольно серьезный с математической точки зрения ) спор группы на группу по этому точно поводу: одни говорят ОДЗ , другие - необходимое условие для равносильного перехода. К общему мнению не пришли. В книжках тоже в разных по- разному

(2 Янв '18 23:39) epimkin
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение $%\sqrt{A}=B$% равносильно системе из уравнения $%A=B^2$% и неравенства $%B\ge0$%. Первое даёт $%8\sin^2x+\cos^2x=4\cos^2x+3\sin^2x-4\sqrt3\sin x\cos x$% с учётом основного тригонометрического тождества. После упрощения и деления на квадрат косинуса, заведомо отличный от нуля, получается $%5\tan^2x+4\sqrt3\tan x-3=0$%. Корнями квадратного уравнения будут $%\tan x=-\sqrt3$% и $%\tan x=\frac{\sqrt3}5$%.

Теперь нужно учесть неравенство $%2\cos x\ge\sqrt3\sin x$%. Если $%\cos x > 0$%, то должно быть $%\tan x\le\frac2{\sqrt3}$%; при $%\cos x < 0$% должно быть $%\tan x\ge\frac2{\sqrt3}$%. Для первого случая подходит как $%\tan x=-\sqrt3$% с серией решений $%x=-\frac{\pi}3+2\pi k$%, где $%k$% целое, так и $%\tan x=\frac{\sqrt3}5$% с серией решений $%x=\arctan\frac{\sqrt3}5+2\pi k$%. Для второго случая не подходит ни одно из значений. Итого имеем две серии решений.

ссылка

отвечен 2 Янв '18 19:43

Огромное спасибо

(2 Янв '18 21:08) Кассандра
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
2 Янв '18 18:28

показан
787 раз

обновлен
2 Янв '18 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru