Даны $%n+1$% точек общего положения в пространстве $%\mathbb{R}^{n}$%:

$$ \begin{array}{c} x^{(1)}=(x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, \ldots, x_{n}^{(1)}),\\ x^{(2)}=(x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{n}^{(2)}),\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ x^{(n)}=(x_{1}^{(n)}, x_{2}^{(n)}, \ldots, x_{n}^{(n)}),\\ x^{(n+1)}=(x_{1}^{(n+1)}, x_{2}^{(n+1)}, \ldots, x_{n}^{(n+1)}). \end{array} $$

При каком условии, выраженном в терминах матриц, эти точки находятся в общем положении, т.е. никакие 3 точки не лежат на одной прямой, никакие 4 точки не лежат в одной плоскости и т.д.?

Я думаю, что нужно рассмотреть векторы $$ z^{(1)}=x^{(2)}-x^{(1)}, \quad z^{(2)}=x^{(3)}-x^{(1)}, \quad \ldots, \quad z^{(n)}=x^{(n+1)}-x^{(1)}, $$ и таким условием является то, что ранг матрицы, строками которой являются координаты этих векторов, равен $%n$%, т.е. ранг матрицы $$ A=\begin{pmatrix} x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)} & x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)} & \ldots & x_{n}^{(2)}-x_{n}^{(1)}\\ x_{1}^{(3)}-x_{1}^{(1)} & x_{2}^{(3)}-x_{2}^{(1)} & \ldots & x_{n}^{(3)}-x_{n}^{(1)}\\ \ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots & \ldots\ldots\ldots\ldots\\ x_{1}^{(n+1)}-x_{1}^{(1)} & x_{2}^{(n+1)}-x_{2}^{(1)} & \ldots & x_{n}^{(n+1)}-x_{n}^{(1)} \end{pmatrix} $$ равен $%n$%. Это действительно так?

задан 3 Янв 19:03

Это действительно так? - да...

(3 Янв 20:01) all_exist

Спасибо! А как это доказать?

(3 Янв 22:21) li3519

Ну, например, по определению линейной зависимости и свойствам ранга матрицы...

(3 Янв 22:55) all_exist

или подтянуть определение базиса векторного пространства...

(3 Янв 23:01) all_exist

Да, действительно это очевидно. Надо было просто внимательно вспомнить и применить определения. Вот я балда. Большое спасибо за наводку!

(4 Янв 2:26) li3519

не за что...

(4 Янв 10:21) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,032
×741

задан
3 Янв 19:03

показан
148 раз

обновлен
4 Янв 10:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru