$$ \text{tg}(14\cdot x)+3\cdot \text{ctg}(7\cdot x)-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sin\left(\frac{3\cdot x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\sin(3\cdot x)=2\cdot (\sqrt{3}-1) $$

задан 4 Янв 18:00

изменен 4 Янв 18:35

all_exist's gravatar image


33.2k210

Пример старый, но решить не удалось

(4 Янв 18:01) epimkin

МГУ, ВМК 1999 год

(4 Янв 18:21) epimkin

надеюсь ничего не испортил...

(4 Янв 18:35) all_exist

Нет, все так

(4 Янв 18:58) epimkin

Нашёл я это задание . Человек задал вопрос, кстати скан с книжки, но в СКА-Нева все равно ошибка - котангенс тоже 14*х

(4 Янв 22:04) epimkin

В скане - айпад все сам стремится текст переделать

(4 Янв 22:18) epimkin

@epimkin: я стал решать эту задачу устно во время перекура, считая, что тангенс и котангенс берутся от одного и того же значения, равного 7x. После этого начала писать решение, и вдруг заметил, что один из углов там удвоенный. При этом всё непонятным образом усложнялось.

Для 14x всё решается так же, и это сравнительно просто. Если надо, могу написать. Но в такой форме Вы, наверное, уже тоже решили.

(4 Янв 23:07) falcao

@falcao, напишите, пожалуйста.

(4 Янв 23:12) epimkin
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для скорректированного вида условия, когда тангенс и котангенс берутся от одного и того же значения угла.

Пусть $%u=\tan14x\ne0$%, $%v=\sin\frac{3x}2+\cos\frac{3x}2$%. Тогда $%v^2=1+\sin3x$%, и уравнение принимает вид $%u+\frac3u-2v+v^2-1=2\sqrt3-2$%, то есть $%u+\frac3u-2\sqrt3+(v-1)^2=0$%.

Если $%u > 0$%, то первые три слагаемых дают $%(\sqrt{u}-\sqrt{\frac3u})^2\ge0$%, откуда $%u=\sqrt3$%, $%v=1$%. Второе условие равносильно тому, что $%\sin\frac{3x}2=1$% или $%\cos\frac{3x}2=1$%.

Решая уравнение $%\tan14x=\sqrt3$%, имеем $%14x=\frac{\pi}3+\pi k$%, где $%k$% целое. Отсюда $%x=\frac{(3k+1)\pi}{42}$%. Ввиду того, что $%\sin3x=v^2-1=0$%, число $%3k+1$% делится на $%14$%, откуда $%k=14m+9$% при целом $%m$%. Тем самым, $%x=(m+\frac23)\pi$%. Тогда $%\frac{3x}2=\frac{3m\pi}2+\pi$%, и нас интересуют случаи, когда $%\sin\frac{3m\pi}2=-1$% или $%\cos\frac{3m\pi}2=-1$%. Понятно, что $%m=4n+1$% или $%m=4n+2$% при целом $%n$%, откуда получаются две серии решений $%x=(4n+\frac53)\pi$% и $%x=(4n+\frac83)\pi$%.

Теперь рассмотрим случай $%u < 0$%. Здесь $%u+\frac3u < -2\sqrt3$%. С другой стороны, $%|v|\le\sqrt2$%, откуда $%|v-1|\le\sqrt2+1$%, и $%(v-1)^2\le3+2\sqrt2 < 6 < 4\sqrt3$%. При этом левая часть уравнения оказывается отрицательной. Значит, других решений нет.

ссылка

отвечен 5 Янв 0:08

@falcao, после ввиду того, непонятен переход, поясните , пожалуйста

(5 Янв 2:44) epimkin

Я решал систему u=sqrt(3) = sin(3x/2)=1 . Получил первый икс как у Вас и со второго уравнения (4m+1)*pii/3, потом приравнял их и получил 3к+1=56m+14. Дальше не знаю как

(5 Янв 2:51) epimkin

Там знак равенства лишний влез , и там должно быть

(5 Янв 2:52) epimkin

@epimkin: это линейное диофантово уравнение. В общем случае оно решается через алгоритм Евклида, первый шаг которого -- деление 56 на 3 с остатком. Записывая 56 как 57-1, мы получим m=3(19m-k+4)+1. Выражение в скобках принимает любые целые значения, так как коэффициент при k равен -1. Значит, можно положить m=3t+1, откуда k=19m+4-t=56t+23. Это общее параметрическое описание множества решений уравнения в целых числах.

Правда, мне непонятно, почему sin(3x/2)=1. Или это одна из двух систем? Ведь может также быть cos(3x/2)=1.

(5 Янв 5:39) falcao

@falcao , это одна из систем

(5 Янв 9:18) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×812

задан
4 Янв 18:00

показан
77 раз

обновлен
5 Янв 9:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru