Здравствуйте! Последовательность $%1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, ...$% составлена из чередующихся групп четных и нечетных чисел, причем в $%n$%-ой группе $%n$% членов. Доказать, что $%m$%-ый член последовательности равен

$$2m - [\tfrac {1 + \sqrt{8m - 7}} 2] $$

задан 5 Янв 4:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть m-й член последовательности принадлежит k-й по счёту группе чисел. В ней ровно k чисел, а перед ними идут 1+2+...+(k-1)=(k-1)k/2 чисел. Поэтому m удовлетворяет двойному неравенству (k-1)k/2 < m <= k(k+1)/2. Тем самым, можно сказать, что k есть наибольшее целое, для которого (k-1)k/2 < m, то есть (k-1)k/2 <= m-1. Умножая на 8 и прибавляя 1, имеем (2k-1)^2 <= 8m-7. Отсюда k<=(1+sqrt(8m-7))/2, и k является наибольшим целым, удовлетворяющим этому неравенству. Это значит, что k равно целой части выражения справа: k=[(1+sqrt(8m-7))/2].

Нам нужен m-й член последовательности, и осталось проверить, что он равен 2m-k. Здесь надо заметить, что последним членом k-й группы является число k^2. Значит, под номером m=k(k+1)/2 находится k^2=2m-k. Если сместиться на d влево в пределах той же группы, то окажется, что под номером m=k(k+1)/2-d находится число k^2-2d, так как числа в пределах группы идут через два. Нас интересует число под номером m, откуда d=k(k+1)/2-m, а само число равно k^2-2d=k^2-k(k+1)+2m=2m-k.

ссылка

отвечен 5 Янв 6:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,735
×278

задан
5 Янв 4:47

показан
126 раз

обновлен
5 Янв 6:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru