Читаю "Курс алгебры" Винберга.

Там доказывается единственность представления любого элемента поля комплексных чисел в виде a+bi (где a,b принадлежат R, i - мнимая единица) следующим образом:

Пусть a1 + b1i = a2 + b2i

Тогда (a1 - a2) = (b2 - b1)*i

Возводя это равенство в квадрат, получим

(a1 - a2)2 = --(b2 - b1)2 //двойки после скобок - показатель степени

Откуда a1 - a2 = b2 - b1 = 0

Не понимаю последнего утверждения. Откуда оно следует?

задан 5 Янв 20:25

изменен 5 Янв 20:27

Число $%(a_1-a_2)^2 \ge 0$%, а $%-(b_1-b_2)^2\le 0$%... равенство возможно только для нулевых значений...

(5 Янв 20:51) all_exist

@all_exist теоретически можно предположить, что (a1 - a2) = i , (b2 - b1) = 1 , и тогда равенство имеет смысл. Можно ли утверждать, что это неверно, так как результат (a1 - a2) вещественное число, а i таковым не является?

(5 Янв 21:21) Mergasov

@Mergasov: в условии теоремы сказано, что a1, a2, b1, b2 -- действительные числа. Это существенно, так как в противном случае единственности бы не было.

Число a1-a2 совершенно не обязано быть рациональным (например, оно может равняться sqrt(2)).

(5 Янв 21:39) falcao

@falcao я ошибся, речь шла именно о вещественных. Исправил свой предыдущий комментарий

(5 Янв 21:42) Mergasov

@Mergasov: вообще-то при формальном построении поля комплексных чисел, берутся все упорядоченные пары вида (a,b), где a,b действительные. Фактически, это точки координатной плоскости. При этом (a,b)=(c,d) <=> a=c, b=d по определению. При этом проверять единственность не надо. А если другим способом строить, что всё следует из того, что сумма квадратов двух действительных чисел всегда положительна, кроме случая, когда оба этих числа равны нулю одновременно.

(5 Янв 22:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×400

задан
5 Янв 20:25

показан
98 раз

обновлен
5 Янв 22:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru