$$∫arctg(y/x)dl$$

$%L$%: дуга кардиоиды $%ρ=1+\cos φ; 0 ≤ ρ ≤ \pi/2$%, в ответе: $%\sqrt{2}(\pi+4)-8$%

У меня получилось в конце интеграл от $%0$% до $%\pi/2$% $%∫φ\sqrt{2+2\cos φ}dφ$% и в ответе $%3\sqrt{2}\pi$%

задан 18 Мар '13 9:44

изменен 18 Мар '13 14:53

falcao's gravatar image


166k1230

10|600 символов нужно символов осталось
0

В полярных координатах $$ dl=\sqrt{(x'(\varphi))^2+y'(\varphi))^2}\;d\varphi , \\ x'(\varphi)=\frac{d}{d\varphi}(\rho(\varphi)\cos{\varphi}) =-\sin{\varphi}\cos{\varphi}-(1+\cos{\varphi})\sin{\varphi} ,\\ y'(\varphi)=\frac{d}{d\varphi}(\rho(\varphi)\sin{\varphi}) =-\sin{\varphi}\sin{\varphi}+(1+\cos{\varphi})\cos{\varphi}, \\ x'(\varphi))^2+y'(\varphi))^2= \sin^2{\varphi}+(1+\cos{\varphi})^2=2+2\cos{\varphi}=4\cos^2{\frac{\varphi}{2}}, \\ dl={2}\left| \cos{\frac{\varphi}{2}} \right|\;d\varphi, \\ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{arctg}{\frac{y}{x}}\;dl= {2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{arctg}({\operatorname{tg{\varphi}}})\left| \cos{\frac{\varphi}{2}} \right|\;d\varphi= \\ ={2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\varphi} \cos{\frac{\varphi}{2}} \;d\varphi. $$ Дальше — интегрирование частями.

ссылка

отвечен 18 Мар '13 10:57

С ответом сошлось. все правильно. Спасибо большое!

(18 Мар '13 11:38) piratescnrcu...

При желании, здесь можно было воспользоваться готовой формулой для длины дуги в полярных координатах: $%dl=\sqrt{r^2+(r')^2}d\varphi$%, где $%r=r(\varphi)$%.

(18 Мар '13 15:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×316
×56

задан
18 Мар '13 9:44

показан
1108 раз

обновлен
18 Мар '13 15:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru