Предположим дана дробь, у которой как и в числителе, так и в знаменателе стоят положительные числа. Причем числа могут быть как целыми, так и дробными. Также эта дробь может быть как правильной, так и неправильной. Но эта дробь НЕ МОЖЕТ быть аликвотной.

А под аликвотной дробью я понимаю такую дробь, у которой и в числителе, и в знаменателе находятся натуральные числа, причем числитель обязательно равен единице, а знаменатель равен единице или больше ее.

При таких условиях может ли быть так, что данную нам дробь нельзя будет выразить через сумму, состоящую из конечного ряда неповторяющихся аликвотных дробей?

Если такая ситуация возможна, любезно прошу привести пример такой дроби.Если есть несколько разных ситуаций, в которых это происходит, то прошу привести дробь-пример для каждой из них.

задан 18 Мар '13 10:22

Правильные точно можно, я де-то читала об этом (в журнале для школьников). А вот неправильные... Интуитивно кажется, что тоже можно, ведь гармонический ряд расходится.

(18 Мар '13 17:55) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
3

Да, всякое положительное рациональное число можно в таком виде представить.

Для правильных дробей это достаточно просто. Если дана несократимая дробь $%m/n$%, где $%m < n$% -- натуральные числа, то берём наибольшую дробь вида $%1/k$%, не превосходящую $%m/n$%. Тогда $%m/n$% равно сумме дроби $%1/k$% и дроби $%(mk-n)/(nk)$%. Легко видеть, что числитель уменьшился. В самом деле, если бы оказалось не так, то $%mk-n\ge m$%, но это равносильно тому, что $%m/n\ge1/(k-1)$%, что противоречит условию выбора дроби $%1/k$%. Поскольку числители не могут уменьшаться до бесконечности, этот процесс обрывается. Все дроби вида $%1/k$%, возникающие в ходе процесса, будут различными. Последнее следует из того, что если мы выделили слагаемое $%1/k$%, то дробь была меньше $%1/(k-1)$%, то есть разность окажется меньше $%1/(k(k-1))$%, и все знаменатели, возникающие далее, будут больше $%k$%.

Теперь пусть рациональное число $%r$% больше единицы. Будем вычитать из него дроби $%1$%, $%1/2$%, $%1/3$%, ..., пока это приводит к положительной разности. Поскольку частичные суммы гармонического ряда стремятся к бесконечности, рано или поздно наступит ситуация, когда вычесть очередной член мы уже не сможем, то есть $$r=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n}+r',$$ где $%r' < 1/(n+1)$%. Если $%r'=0$%, то разложение уже получено, а в противном случае мы получили правильную дробь, которую далее разлагаем по алгоритму. Ясно, что повторений не будет, так как все далее возникающие знаменатели будут попарно различными, и все они больше $%n$%.

Например, $%3=1+1/2+1/3+\cdots+1/10+1/15+1/230+1/57960$%.

ссылка

отвечен 18 Мар '13 19:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×141

задан
18 Мар '13 10:22

показан
743 раза

обновлен
18 Мар '13 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru