Решить необходимо не применяя метода производящих функций

An=7An-1 -12An-2 +5*3^n +(2n-3), где Аn, An-1 и An-2 члены последовательности

a0=0, a1=1

Я начал с того, что составил характеристическое уравнение и нашёл его корня Лямда1 = 3, лямда2 = 4

An записал в виде d13^n + d23^n

g(n) = 5*3^n +(2n-3) = g1+g2

Дальше я стал находить an,1 И an,2 с тильдой. Внятно объяснить что это такое я не смогу, т.к. отсутствовал на лекции, есть только записи. В общем нужна подсказка с общим алгоритмом как это решить

задан 7 Янв 0:55

изменен 7 Янв 0:56

10|600 символов нужно символов осталось
0

Общее решение однородного уравнения имеет вид $%C_13^n+C_24^n$%. Теперь надо к нему прибавить сумму двух частных решений -- для случая, когда в правой части находится $%5\cdot3^n$%, и когда там находится $%2n-3$%. Это и есть то, что "с тильдой", но я этих обозначений использовать не буду.

Начнём со второго случая. Если $%a_n$% является арифметической прогрессией, то $%a_n-7a_{n-1}+12a_{n-2}$% тоже ей является. Поэтому будем искать $%a_n$% в таком виде. Полагая $%a_n=dn+k$% для некоторых констант $%d$% и $%k$%, подставим эту последовательность в указанное выше выражение, приравнивая его $%2n-3$%. Это даст $%dn+k-7(d(n-1)+k)+12(d(n-2)+k)=2n-3$%. Отсюда $%6d=2$%, то есть $%d=\frac13$%. Далее, $%6k-17d=-3$%, и $%k=\frac49$%. Запоминаем теперь выражение $%dn+k=\frac13n+\frac49$%.

Теперь аналогичным способом находим частное решение для случая, когда правая часть равна $%5\cdot3^n$%. Число $%3$% является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде $%Cn3^n$%. Подставляя $%a_n=n3^n$% без учёта константы, имеем $%n3^n-7(n-1)3^{n-1}+12(n-2)3^{n-2}=3^n(n-\frac73(n-1)+\frac43(n-2))=-\frac133^n$%. Нам нужен коэффициент $%5$% при $%3^n$%, поэтому нужно положить $%C=-15$%. Запоминаем выражение $%-15n3^n$%.

Окончательно ищем $%a_n$% в виде суммы общего решения для однородного случая, и двух частных решений для неоднородного случая: $%a_n=C_13^n+C_24^n-15n3^n+\frac13n+\frac49$%. Значения констант находим из начальных условий. При $%n=0$% будет $%0=a_0=C_1+C_2+\frac49$%, откуда $%C_1+C_2=-\frac49$%. При $%n=1$% имеем $%1=a_1=3C_1+4C_2-45+\frac79$%, откуда $%3C_1+4C_2=\frac{407}9$%. С учётом того, что $%3C_1+3C_2=-\frac{12}9$%, имеем $%C_2=\frac{419}9$% и $%C_1=-\frac{423}9=-47$%.

Окончательный ответ: $%a_n=-(15n+47)\cdot3^n+\frac{419}94^n+\frac13n+\frac49$%.

ссылка

отвечен 7 Янв 5:52

@falcao, большое спасибо

(7 Янв 18:20) Quintin65
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,055
×41
×32

задан
7 Янв 0:55

показан
152 раза

обновлен
7 Янв 18:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru