Доказать: Если $%f:[0,1]\rightarrow [0,1]$% монотонно возрастает (непрерывность не предполагается), то уравнение $%f(x)=x$% имеет решение.

задан 8 Янв 5:29

Не знаю что-тут рассуждать. Очевидно же, что если f:[0,1]→[0,1] и монотонно возрастает, то f(0)=0

(11 Янв 4:51) abc

@abc: разве в условии где-то сказано, что отображение сюръективно?

Запись f:A->B означает, что f принимает значения в множестве B, но совершенно не значит, что все значения из B принимаются.

Неподвижной тут может оказаться любая из точек.

(11 Янв 8:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что неподвижных точек нет. Тогда отрезок является объединением двух множеств $%A\cup B$%, где $%A=\{x\mid x < f(x)\}$% и $%B=\{x\mid x > f(x)\}$%.

Пусть $%a=\sup A$%. По условию, в множестве $%A$% нет точек строго правее $%a$%. Рассмотрим сначала случай $%a\in A$%. Тогда $%a < f(a)$%, и $%f(a) > x=\frac{a+f(a)}2 > a$%. Значит, $%x\in B$%, то есть $%f(x) < x$%. Из условия монотонного неубывания вытекает, что $%f(x)\ge f(a)$%, откуда $%x > f(x)\ge f(a)$% -- противоречие.

Второй случай: $%a\in B$%. Здесь $%f(a) < a$%. Положим $%\varepsilon=a-f(a) > 0$%. По определению точной верхней грани множества, существует $%x\in A$% такое, что $%x > a-\varepsilon$%. Это значит, что $%x > f(a)$%. С другой стороны, $%x < a$%, так как для всех точек множества $%A$% выполнено неравенство $%x\le a$%, и равенство $%x=a$% невозможно ввиду принадлежности этих точек разным частям. Значит, $%f(x)\le f(a) < x$%, что противоречит условию $%x\in A$%.

ссылка

отвечен 8 Янв 7:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть решения нет. Значит, $%f(0) \ne 0, \; f(1) \ne 1.$% Следовательно, $$0 < f(0) < f(1) < 1.$$ Организуем процесс половинного деления с сохранением этого соотношения, т.е. примем $$a_0 = 0, \; b_0 =1,$$ а для каждого $%k = 1, 2, ...$% положим $$c_k = \frac{a_{k-1} + b_{k-1}}{2}$$ и примем $$a_k = c_k, \; b_k = b_{k-1}, \; если \; f(c_k) > c_k, $$ и $$a_k = a_{k-1}, \; b_k = c_k, \; если \; f(c_k) < c_k.$$ Тогда получится последовательность отрезков, стягивающихся к некоторой точке $%x_0$%, причём на каждом $%n-$%м шаге $$a_{n-1} \le a_n \le x_0 \le b_n \le b_{n-1}.$$ Кроме того, по построению и в силу возрастания функции $%f(x)$%, $$f(a_{n-1}) \le f(a_n) < f(b_n) \le f(b_{n-1}), \; \; \; \; \; a_n < f(a_n) < f(b_n) < b_n.$$ Поэтому отрезки $%[f(a_n);f(b_n)]$% тоже стягиваются к некоторой точке $%y_0$%, причём $$a_n < y_0 < b_n.$$ Значит, $%y_0=x_0.$% Следовательно, $$f(x_0) = x_0.$$

ссылка

отвечен 10 Янв 18:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,502

задан
8 Янв 5:29

показан
184 раза

обновлен
11 Янв 8:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru