Известно, что при любом положительном значении $%p$% все корни уравнения (с беременной $%x$%) $$ax^2-3x+p=0$$ положительны. Докажите, что $%a=0$%.

Либо я не понимаю условие, либо лыжи не едут. Если, скажем, $%a=3$%, то получаем уравнение $$3x(x-1)=-p$$ При любом положительном значении $%p$% правая часть этого уравнения будет отрицательной, а все его корни - положительными, так как при $%x=0$% правая часть тоже равна нулю, а при отрицательном $%x$% правая часть положительна.

Это ли не контрпример?

Вот ссылка на задачу (задача №3): http://olympiads.mccme.ru/mmo/2010/okrug/usl10_2to1.pdf

задан 8 Янв '18 18:31

2

беременные х...

(8 Янв '18 18:34) Williams Wol...

@Williams Wol..., свалю вину на словарь Т9.

(8 Янв '18 18:36) Казвертеночка
1

x = 1/6 (sqrt(3) sqrt(3 - 4 p) + 3), один из корней вашего уравнения, тут получается, что при некоторых п корней либо нет, либо 1, что противоречит условию, но, возможно, что я что-то не понимаю.

(8 Янв '18 18:39) Williams Wol...
1

@Казвертеночка: это, вроде бы, задача с того тура олимпиады, который раньше назывался областным. Обычно в этих материалах даются и решения. Что в них написано?

Как правило, совсем уж откровенных "ляпов" в материалах этого давнего авторского коллектива не бывает, но тут надо смотреть по решениям. Возможно, имелось в виду, что при любом p > 0 корни есть, и они положительны. Тогда всё легко следует из теоремы Виета. Если корней нет, то есть их множество пусто, то про них можно сказать что угодно с логической точки зрения. Если возразить, что всегда есть мнимые корни, то это не для школы.

(8 Янв '18 23:21) falcao

@falcao, вот здесь решение, третье сверху: http://olympiads.mccme.ru/mmo/2010/okrug/resh10.pdf

(9 Янв '18 2:20) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: выходит, они подразумевали, что корни существуют и при этом все положительны. Это, конечно, не очень хорошо само по себе. Я бы решал так: если а не равно 0, то сумма корней равна 3/а, откуда а > 0. Возьмём p > 9/(4a). Тогда дискриминант отрицателен, и корней нет. Но задача в любом случае дурацкая какая-то. Совсем не годится для областного тура олимпиады.

(9 Янв '18 2:33) falcao

@falcao, большое спасибо!

(10 Янв '18 1:59) Казвертеночка

@falcao. Это не областной, а районный (муниципальный) тур. Но и там бывают вполне достойные задачи.

(15 Янв '18 23:21) nynko

@nynko: а разве для районного тура задачи составляются "централизованно"? Мне всегда казалось, что это делается на местах. По крайней мере, у нас этот так (и я как бы к этому процессу причастен). Или тут для Москвы задачи, поэтому тот же авторский коллектив составляет?

Данная задача откровенно плоха со всех точек зрения. Удивительно, что её пропустила редколлегия.

(15 Янв '18 23:47) falcao

@falcao а что плохого в задаче? Если a>0, то не при любом p корни вообще существуют

(17 Фев '19 11:22) knop
1

@knop: свойства корней квадратного уравнения -- вещь слишком "прозрачная". На таких эффектах всё-таки не должны быть основаны олимпиадные задачи. Даже в задачах типа ЕГЭ это может быть лишь мелким фрагментом какого-то рассуждения.

И ещё формальный момент есть: если множество пусто, то все его элементы можно объявить какими угодно.

(17 Фев '19 13:52) falcao

Формальный момент - это да. Они не захотели писать "существуют и положительны". Возможно, чтоб не давать подсказку. А может быть, просто упустили. А может, комментировали это в аудиториях.

Но это же районка. У нас даже в финале Всеросса бывают задачи на дискриминант квадратного уравнения. Особенно если с параметрами. Так что насчет "не должны быть основаны олимпиадные задачи" не соглашусь. Одна школьная задача на вариант - вполне норм.

(17 Фев '19 14:10) knop

@knop: я сам составляю задачи нашей местной "районки" уже не один десяток лет. Да, там могут быть и "утешительные" задачи, но всё-таки не такие "банальные", да ещё и с логической неоднозначностью.

(17 Фев '19 14:14) falcao

Я честно не знаю, кто составлял районку тех лет в Москве. ЦПМК этим не занимается.

(17 Фев '19 14:25) knop
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно спросить? При этом же условии задачи вопрос звучит: "какие целые значения может принимать а?" У меня получается любое натуральное число, но формат ответа предполагает введение конкретных цифр. Извините, если обратился неадресно.

ссылка

отвечен 1 Апр '18 0:34

1

@Satiko: здесь, я так понимаю, подходит только a=0.

(1 Апр '18 0:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,375
×1,113
×308
×150
×2

задан
8 Янв '18 18:31

показан
902 раза

обновлен
17 Фев '19 14:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru