$%F=\mathbb Q[x]/(x^3+2x+1)$% - поле, и любой элемент $%z\in F$% представляется в виде $$z=a+bx+cx^2$$ ($%a,b,c\in \mathbb Q$%). Найти коэффициенты $%a,b,c$% для $%z=1/(x-1)$%

Мысли такие:

Определим $%s$% так: $$z=\frac{1}{x-1}=-(1+x+x^2+\dots)=-s$$. Знаем, что $%x^3=-1-2x, x^2=-x-2x^2, x^3=-x^3-2x^4$% и т.д. Поэтому $%x^3+x^4+\dots=-1-3x-3x^2-3x^3-\dots=-1-3x(1+x+x^2+\dots)=-1-3xs$%. Отсюда $$-s=-1-x-x^2+(1+3xs)$$ и $$s=\frac{x^2+x}{1+3x}$$ Но без остатка это дело не делится.

Другой путь: $$-s=-1-x-x^2-x^3s$$ откуда $$s=\frac{x^2+x+1}{2+2x}$$

Но это противоречит предыдущему выражению...

задан 9 Янв 6:44

$%(x-1)(ax^2+bx+c)=1+\alpha(x^3+2x+1)$%
4 уравнения, 4 неизвестных

(9 Янв 10:55) spades
10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо применить обычный метод неопределённых коэффициентов. Никаких бесконечных сумм тут быть не должно.

Если $%\frac1{x-1}=ax^2+bx+c$%, то $%(x-1)(ax^2+bx+c)=1$% в факторкольце. Раскрываем скобки, и $%x^3$% заменяем на то, чему оно равно, то есть на $%-2x-1$%. Надо иметь в виду, что в общем случае могло бы возникнуть и $%x^4$%, и тогда мы бы заменили его на $%-2x^2-x$%.

Здесь получается $%1=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=(b-a)x^2+(c-b-2a)x-(c+a)$%. Отсюда составляем систему, которая даёт $%b=a$%, $%c=b+2a=3a$%, $%c+a=-1$%, то есть $%a=b=-\frac14$%, $%c=-\frac34$%. Ответ имеет вид $%-\frac14(x^2+x+3)$%.

ссылка

отвечен 9 Янв 11:55

А вообще почему 1/(x-1) лежит в этом поле? Это следует из того, что этот элемент выражается как надо? Или как-то изначально можно было понять, что он лежит в этом поле?

(10 Янв 5:46) Slater

@Slater: а как он может не лежать в поле, если оно замкнуто относительно арифметических операций?

(10 Янв 7:47) falcao

Действительно... А является ли очевидным то, что подход с бесконечными суммами обречён на провал?

(10 Янв 9:08) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,450

задан
9 Янв 6:44

показан
86 раз

обновлен
10 Янв 9:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru