Пусть $%V$% - векторное пространство размерности $%n$%, $$T:V\rightarrow V$$ линейный оператор, имеющий $%n$% различных собственных значений. Пусть $%W\subset V$% подпространство размерности $%m$%, причем $%T(W)\subset W$%. Доказать, что $%T\restriction_W:W\rightarrow W$% имеет $%m$% различных собственных значений. (Если можно, без прибегания к понятию минимального многочлена).

Идея такая: оператор Т диагонализуем. Надо доказать, что базис, в котором он диагонализуем можно выбрать так, чтобы первые m векторов лежали в W. Тогда матрица Т будет блочной вида [A 0 \ 0 B] где A диагональна размера m, B диагональна размера n-m. Тогда матрица ограничения будет А, т.е. ограничение диагонализуемо, поэтому есть m собственных значений.

Но как доказать, что диагонализирующий базис можно выбрать именно таким образом?

задан 9 Янв 7:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть S -- ограничение T на W. Всякое собственное значение S будет, очевидно, собственным значением T. Достаточно проверить, что собственные значения у S не могут повторяться. Предположим, что какое-то значение k повторилось как минимум дважды. Тогда размерность ядра оператора S-kE больше 1. Значит, то же самое верно и для T-kE, поскольку W содержится в V. Но для диагонализируемого оператора с попарно различными собственными значениями это не так.

ссылка

отвечен 9 Янв 11:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,239
×885

задан
9 Янв 7:08

показан
27 раз

обновлен
9 Янв 11:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru