Требуется доказать, что порядок группы автоморфизмов группы $%C_p\oplus C_p$% равен порядку группы автоморфизмов векторного пространства $%F_p^2$%.

Во-первых, надо как-то "отождествить" $%C_p\oplus C_p$% с $%F_p^2$%. Непонятно, как это делать на формальном уровне и что формально означает слово "отождествить". Установить биекцию? Я бы попытался сделать так. $%F_p$% - это множество, являющееся абелевой группой порядка $%p$% по сложению. Зафиксируем какую-нибудь биекцию между $%C_p$% и $%F_p$%.

Теперь если есть автоморфизм $%f$% вект. пр-ва $%F_p^2$%, для него выполнено $%f((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))$%, и $%f$% биективно. Поскольку элементы $%F_p$% отождествлены с элементами $%C_p$%, это дает автоморфизм $%C_p^2$%. Обратно, если $%\phi$% - автоморфизм $%C_p^2$%, то это есть линейное биективное отображение $%F_p^2$% в себя; надо только проверить что $%f(k(x,y))=kf(x,y)$% для $%k\in F_p$%. Это тоже непонятно, почему верно, ведь $%\phi(k(x,y))=\phi(kx,ky)$% но то что это равно $%k\phi(x,y)$% из определения автоморфизма группы не следует.

задан 9 Янв 7:43

@Slater: Z_p является полем, а сумма Z_p+Z_p есть двумерное пространство над этим полем. Это факт того же порядка, как то, что RxRxR есть трёхмерное пространство над R. Осталось заметить, что автоморфизм Z_p+Z_p как абелевой группы и как векторного пространства -- это одно и то же (все скаляры здесь являются кратными 1). Это то, чего не хватало в конце: k=1+...+1, и линейность следует из аддитивности. Если бы полем было, например, R, одно бы уже не следовало из другого.

Биекции между C_p и F_p устанавливать не нужно, так как это буквально одно и то же как множество (вычеты по модулю p).

(9 Янв 12:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,450

задан
9 Янв 7:43

показан
61 раз

обновлен
9 Янв 12:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru