|
Вот уравнение $$x^{3}+x^{2}+x+1/3=0$$ Понятно , что один корень , строил график и понял что корень находится где-то в промежутке $$(-3/8;-1/3)$$ .Дальше домножил на тройку , попробовал разложить , но никак не получается , что делать ? Или без формулы Кардано обойтись никак? задан 18 Мар '13 17:53 
SenjuHashirama |
|
Стандартная технология такая. Рациональные корни легко перебрать (в данном случае они имеют вид $%\pm {m\over 3}$%). Если их нет, то только Кардано. Но до этого надо свести к неполному. отвечен 18 Мар '13 18:06 
DocentI Нет , видимо рациональных корней нету , ибо я подбирал много , но ничто не подходит. Спасибо!
(18 Мар '13 18:10)
SenjuHashirama
|
|
Да, решается. Умножим уравнение на $%3$% и воспользуемся формулой для куба суммы. Получится $%2x^3+(x+1)^3=0$%. Это значит, что кубы чисел $%x+1$% и $%-\sqrt[3]{2}x$% равны. Значит, равны сами числа, и $%x$% находится как решение линейного уравнения: $$x=-\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}}.$$ отвечен 18 Мар '13 18:13 
falcao Ого , спасибо огромное ,сам никогда бы не заметил.
(18 Мар '13 18:18)
SenjuHashirama
Прекрасно! Хотя, конечно, Кардано дал бы тот же ответ, но с большими усилиями
(19 Мар '13 13:50)
DocentI
1
@DocentI: да, если всё сделать через формулу Кардано, то для неполного уравнения получается $%(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})/3$%, и это $%x+1/3$%. То есть то же, что появится после исключения иррациональности из знаменателя. А два другие корня там мнимые. Интересно, что даже когда корни целые, формула Кардано может давать ответ в "неудобоваримом" виде. Например, для $%x^3-19x+30=0$%.
(19 Мар '13 14:06)
falcao
@falcao А почему вы не нашли остальные $%2$% комплексных корня? Вы можете найти все три из $%(x+1)^{3}=-2 x^{3}=e^{i(2 n+1) \pi} 2 x^{3}$% при $%n=0,1,2$%. Теперь возьмите кубический корень с обеих сторон $%x+1=e^{i \frac{2 n+1}{3} \pi} 2^{\frac{1}{3}} x$%. При $%n=1$% получаем ваш ответ. Два других комплексных корня получаются, если $%n=0$% и $%n=2$%.
(24 Сен '21 21:25)
Rene
@Rene: конечно, их можно найти, но это школьная задача, и там все числа действительные "по умолчанию".
(24 Сен '21 23:38)
falcao
показано 5 из 6
показать еще 1
|