Среднее гармоничное двух натуральных чисел равно 40. Какое наибольшее значение может принимать их сумма. С производными знаю. Можно ли решить без всяких производных?

задан 10 Янв 1:00

@epimkin, а при чём тут производные, если числа натуральные?...

(10 Янв 1:23) all_exist

@all_exist, как тогда сделать? С помощью неравенств разных?

(10 Янв 1:27) epimkin

В принципе, можно говорить о применении производных, если рассмотреть сначала все действительные значения...

(10 Янв 1:37) all_exist

В принципе тут можно выполнить перебор... вариантов не так много...

(10 Янв 1:44) all_exist

@all_exist, задача из ЕГЭ, причём базовый уровень( чтоб двойку не получить), как- то перебор- это вроде перебор будет. Из первоначального выражения получил а=20*в/(в-20), у=а+в, подставил туда а и получил у=в^2/(в-20), нашёл производную и нашёл в=40 и а тоже.

(10 Янв 1:51) epimkin

@epimkin: a=b=40 даёт наименьшее значение суммы, а не наибольшее. Наибольшее -- на концах, из соображений возрастания/убывания.

Для такого случая хватило бы неравенства о среднем 2ab/(a+b)<=(a+b)/2 вместо производной.

(10 Янв 1:55) falcao

Я уже понял, спасибо

(10 Янв 1:58) epimkin
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{2}{40} $$ $$ (x-20)(y-20)=400 $$ Тогда $$ x+y = \{21+420; \;22+220;\;24+120;\;25+100;\;28+70;\;30+60;\;36+45;\;40+40\} $$

ссылка

отвечен 10 Янв 1:49

@all_exist, а как получилась вторая строка?

(10 Янв 2:14) epimkin

@epimkin, это типовое преобразование в произведение...

$%xy = 20x + 20 y$%

$%xy - 20x - 2y + 20\cdot 20 = 400$%

$%(x-20)(y-20) = 400$%

(10 Янв 3:15) all_exist

Когда двое очень мною уважаемых людей дают одновременно ответы, мне очень тяжело признавать чей либо ответ лучшим. Не знаю что и делать

(10 Янв 3:22) epimkin

@epimkin: в таких случаях обычно принимают ответ того, кто дал его раньше. Это был @all_exist. Когда я разместил своё решение, то увидел его ответ.

(10 Янв 16:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

2ab/(a+b)=40

b=20a/(a-20)

a+b=a^2/(a-20) -> max

x=a-20 > 0

f(x)=(x+20)^2/x=x+400/x+40 -> max

f(1)=f(400)=441

Это значение максимально, так как x>=1 натуральное, f(x)=a+b натуральное, откуда x<=400. Если 1 < x < 400, то x<=200, так как 400 делится на x. Из x>=2 следует также 400/x<=200. Итого f(x)<=200+200+40=440 < 441.

Оценки в последнем неравенстве совсем грубые, но они достаточны для доказательства максимальности.

ссылка

отвечен 10 Янв 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,239

задан
10 Янв 1:00

показан
82 раза

обновлен
10 Янв 16:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru