линейная-алгебра - Сложение векторов и базис пространства

Пусть дано векторное пространство V над полем K, имеющее базис {e1, ..., en} ⊂ V

Исходя из аксиом векторного пространства, можно записать сложение двух векторов следующим образом:

(a + b) = (a1 * e1 + ... + an * en) + (b1 * e1 + ... + bn * en) =

(a1 + b1) * e1 + ... + (an + bn) * en (1)

где ai, bi ∈ K

Но что если мы изначально определяем сложение двух векторов как

(a + b) = c * (a1 * e1 + ... + an * en) + c * (b1 * e1 + ... + an * en), где c ∈ K (например, некоторая числовая константа)

Такое сложение однозначно определяет результат суммы.

Очевидно, что в таком случае сложение двух векторов будет записано следующим образом:

(a + b) = (с * a1 + с * b1) * e1 + ... + (c * an + c * bn) * en

что уже не равно (1)

Как выйти из этого противоречия? Можно ли вообще задать такую операцию сложения, результат которой был бы не равен (1) или это невозможно?