Пусть дано векторное пространство V над полем K, имеющее базис {e1, ..., en} ⊂ V

Исходя из аксиом векторного пространства, можно записать сложение двух векторов следующим образом:

(a + b) = (a1 * e1 + ... + an * en) + (b1 * e1 + ... + bn * en) =

(a1 + b1) * e1 + ... + (an + bn) * en (1)

где ai, bi ∈ K

Но что если мы изначально определяем сложение двух векторов как

(a + b) = c * (a1 * e1 + ... + an * en) + c * (b1 * e1 + ... + an * en), где c ∈ K (например, некоторая числовая константа)

Такое сложение однозначно определяет результат суммы.

Очевидно, что в таком случае сложение двух векторов будет записано следующим образом:

(a + b) = (с * a1 + с * b1) * e1 + ... + (c * an + c * bn) * en

что уже не равно (1)

Как выйти из этого противоречия? Можно ли вообще задать такую операцию сложения, результат которой был бы не равен (1) или это невозможно?

задан 10 Янв '18 3:25

изменен 10 Янв '18 3:51

Эта операция не будет удовлетворять аксиоме о единственности нулевого элемента...

(10 Янв '18 3:32) all_exist

@all_exist можно ли вообще задать такую операцию сложения,результат которой был бы не равен (1) или это невозможно?

(10 Янв '18 3:49) Mergasov

@Mergasov: поскольку у Вас имеется векторное пространство, сложение в нём уже определено. Из аксиом векторного пространства тогда следует, что (a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2. Применяются законы ассоциативности, коммутативности, раскрытия скобок и так далее.

Если дано просто множество, а сложение на нём не дано, то задать его в принципе можно сколь угодно "дикими" способами, но они большого интереса не представляют. Например, можно рассмотреть любую биекцию V на себя и всё "перемешать", но такая конструкция вряд ли для чего-то будет полезна.

(10 Янв '18 8:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,163
×207

задан
10 Янв '18 3:25

показан
243 раза

обновлен
10 Янв '18 8:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru