Пусть f(x)=e^(-1/x^2) для положительных x и 0 для неположительных. Пусть g(x)=f(x-a)f(b-x) где a< b. Доказать что $$h(x)=\frac{\int_{-\infty}^xg(t)dt}{\int_{-\infty}^\infty g(t)dt}$$ гладкая функция

Используя эту функцию, построить гладкую функцию на R^k равную 1 на шаре радиуса а, 0 на шаре радиуса b, и строго лежащую между 0 и 1 в промежуточных точках. (0 < a < b)

задан 10 Янв 4:09

изменен 10 Янв 4:11

Тут уже практически всё сделано. Сначала проверяется, что f(x) гладкая в нуле. Для n-й производной в нуле получается R(x)f(x), где R -- рациональная функция, зависящая от n (индукция). Это дело стремится к нулю. То есть f(x) всюду гладкая. Тогда g(x) тоже гладкая как произведение гладких. Интеграл от гладкой функции гладкий, а в знаменателе константа. Получается гладкая функция, соединяющая тождественный ноль с тождественной единицей. Теперь её значения переносятся на R^k по значению r=sqrt(x1^2+...+xk^2). На шаре радиуса a можно сделать 1, и далее 0 при r>=b (только не на шаре, конечно).

(10 Янв 7:54) falcao

Т.е. функция $%x=(x_1,\dots,x_k)\mapsto 1-h(|x|)$%.

(11 Янв 1:53) Slater

Да, типа того...

(11 Янв 2:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,819

задан
10 Янв 4:09

показан
368 раз

обновлен
11 Янв 2:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru