Почему в определении топологии (например, на вики) условие на объединение задается на произвольное семейство множеств, а условие на пересечение - только на конечное семейство множеств? Возможно, это связано с тем, что в пересечении счетного семейства множеств мы можем получить множество, не являющееся открытым (в том смысле, что не все элементы множества будут входить в него с некоторой окрестностью). Но ведь мы можем определить понятие открытого множества уже исходя из определения топологии, тогда нужно как-то иначе вывести противоречие, не пользуясь известным заранее определением открытого множества.

задан 10 Янв 12:06

изменен 10 Янв 12:13

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть мы знаем все открытые множества. Тогда любая точка "знает" все открытые множества, которым она принадлежит. Такие множества называются окрестностями данной точки. Попробуем теперь поступить наоборот: пусть топологии пока нет, но любая точка "помнит" систему своих окрестностей. Каждая окрестность точки x есть множество точек, "близких" к x в каком-то смысле. Этих "смыслов" столько же, сколько окрестностей у точки.

Представим себе, что каждая точка каким-то почти произвольным образом "загадала" себе систему окрестностей. Как правило, их очень много -- континуум, или даже больше. Этот процесс можно сравнить с созданием групп в социальных сетях. В одну группу я собрал всех своих родственников (включая себя). В какую-то группу вошли мои друзья по вузу (включая меня). Куда-то я собрал тех, с кем могу легко связаться по Интернету. Они "физически" могут находиться далеко от меня, но они "близки" ко мне в указанном смысле.

Всегда есть одна из окрестностей, включающая в себя все точки. Это как бы самая "грубая" концепция близости. Она обязательно должна присутствовать. Одноэлементное множество {x} я вправе включить в систему окрестностей, а также вправе не включить. Если включу, то точка x окажется изолированной точкой пространства. Среди всех рассматриваемых мной концепций близости нет какой-то "самой правильной", или чего-то типа этого. Важно, что все эти концепции рассматриваются вместе, в совокупности.

Рассмотрим две какие-то окрестности точки x. Их пересечение может уже не быть окрестностью по той причине, что оно не было загадано. Например, пусть рассматривается плоскость, а окрестностью точки считается любой квадрат без границы с центром в данной точке. Стороны квадратов не обязательно параллельны осям. Понятно, что пересечением двух квадратов может быть 8-угольник, то есть не окрестность. Но внутри него всегда содержится какой-то квадрат (в том числе такой, у которого стороны параллельны осям).

Таким образом, мы приходим к следующей концепции. Каждая точка "загадывает" себе систему окрестностей. Это делается независимо от других точек. Требуется, чтобы всё пространство входило в систему окрестностей данной точки, а также то, что в пересечении двух окрестностей точки обязательно содержится некоторая из окрестностей той же точки. Во всём остальном выбор системы окрестностей каждой из точек совершенно произволен.

Последнее условие отражает тот факт, что любые две концепции близости "совместимы", то есть для них существует третья концепция, то есть некоторое понимание "близости", согласно которому любая точка y, "близкая" к x в этом (третьем) смысле, "близка" к x и в первом смысле, и во втором.

После того, как у каждой точки загадана система окрестностей, мы можем определить понятие открытого множества. Оно вполне естественно: множество X считается открытым, если вместе с каждой точкой x оно содержит некоторую окрестность этой точки. То есть, все "близкие" к x точки (хоть в каком-нибудь смысле) будут содержаться в X.

При таком понимании, все аксиомы топологического пространства автоматически выполнены. Пустое множество открыто, всё пространство также открыто. Объединение любого числа открытых множеств открыто: если точка x принадлежит некоторому члену объединения, то окружаем её окрестностью, содержащейся в этом самом члене. Она же автоматически содержится в объединении.

Замкнутость относительно пересечения конечного числа равносильна замкнутости относительно пересечения двух открытых множеств. Пусть A и B открыты, x принадлежит пересечению. Тогда найдутся две окрестности U и V точки x, первая из которых содержится в A, а вторая в B. Согласно сформулированному выше принципу, x обладает окрестностью W, содержащейся как в U, так и в V. Она будет содержаться в пересечении A и B, то есть оно будет открытым.

Можно попутно проиллюстрировать понятие непрерывности функции. Пусть f:X->Y -- отображение двух топологических пространств. В каждом из них есть своя топология, то есть загаданы системы окрестностей. Что значит, что f непрерывна в точке a пространства X? На "наивном" языке мы говорим, что близкие к a точки переходят в близкие к f(a). Но в каком именно смысле? Выше мы видели, что их много, и среди них нет "главного".

Представим себе такую игру: я являюсь "хозяином" множества X. Топологию я не выбираю -- она уже задана. Но у меня есть свобода выбора окрестностей данной точки, то есть концепций близости. За множество Y отвечает мой противник. Он обладает правом первого хода, указывая окрестность точки f(a), то есть того толкования "близости" в своём пространстве, которое он пожелает. После этого я под него "подлаживаюсь", указывая одну из окрестностей точки a. Моя цель сделать это так, чтобы любые точки этой окрестности, то есть "близкие" к a, перешли при f в точки, близкие к f(a) в понимании моего противника. Если я всегда могу это осуществить, то функция f непрерывна в точке a.

ссылка

отвечен 10 Янв 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×161

задан
10 Янв 12:06

показан
127 раз

обновлен
10 Янв 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru