Найти все делители нуля в фактор кольце R[x]/x^4+4

задан 11 Янв 12:10

@Желтая кукуруза: а скобки вокруг многочлена кто писать будет? Я бы сказал, что они здесь необходимы вдвойне, потому что факторизация идёт по главному идеалу.

(11 Янв 23:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала нужно разложить многочлен $%x^4+4$% на множители. Для этого надо прибавить и вычесть $%4x^2$%. Получится $%x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$%. Дискриминанты у обоих сомножителей отрицательны, то есть далее на множители в $%\mathbb R[x]$% уже не разложить.

Теперь опишем делители нуля. Они задаются многочленами $%f(x)$% и $%g(x)$%, ни один из которых не делится на $%x^4+4$%, но произведение при этом делится на $%x^4+4$%. Поэтому один из многочленов делится на $%x^2+2x+2$%, а другой на $%x^2-2x+2$%.

Поскольку каждый представитель смежного класса по $%x^4+4$% можно считать многочленом степени $%< 4$%, все делители нуля однозначно описываются формулой $%(x^2\pm2x+2)(ax+b)$%, где $%a,b\in\mathbb R$% не равны нулю одновременно. В качестве нетривиального примера можно указать многочлен $%x^3-2x+4$%.

ссылка

отвечен 11 Янв 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×83

задан
11 Янв 12:10

показан
185 раз

обновлен
11 Янв 23:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru