Найти корни уравнения x^2+1=0 в кольце кватернионов

задан 11 Янв 14:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

Очевидно, что этому уравнению удовлетворяют кватернионы $%\pm i,\pm j,\pm k$%. Однако это не все решения. Чтобы описать все, вспомним свойство нормы кватерниона: $%\|a+bi+cj+dk\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$%. Известно, что норма произведения равна произведению норм. Тогда для $%x=a+bi+cj+dk$% из уравнения $%x^2=-1$% следует, что $%\|x\|^2=1$%, то есть $%\|x\|=1$%. Это значит, что $%a^2+b^2+c^2+d^2=1$%.

Известно, тождество $%(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)^2=a^2+b^2+c^2+d^2$%, которое следует из определения. Это значит, что в данном случае, то есть при $%\|x\|=1$%, обратным для кватерниона $%x$% будет его сопряжённый, то есть $%x^{-1}=a-bi-cj-dk$%. В нашем случае $%x^{-1}=-x$%, что равносильно условию $%x^2=-1$%. Это значит, что $%a-bi-cj-dk=-(a+bi+cj+dk)$%, что равносильно $%a=0$%. При этом сумма квадратов равна $%1$%, то есть $%b^2+c^2+d^2=1$%. Тем самым, все решения уравнения $%x^2=-1$% описываются формулой $%x=bi+cj+dk$%, где сумма квадратов коэффициентов равна единице.

Таких решений бесконечно много, и с геометрической точки зрения, они образуют двумерную сферу в трёхмерном пространстве. Отмеченные в самом начале 6 кватернионов этому множеству также принадлежат.

ссылка

отвечен 11 Янв 17:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×83

задан
11 Янв 14:12

показан
182 раза

обновлен
11 Янв 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru