Пусть функция f:R->R дифференцируема, ограниченная и f(0) не равно 0. Докажите, что найдется точка х0 из R, такая что f'(x0)*f(x0)=x0

задан 11 Янв 15:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%C$% -- такая константа, для которой $%|f(x)| < C$% при всех $%x\in\mathbb R$%. Рассмотрим функцию $%g(x)=f(x)^2-x^2$%. Она всюду дифференцируема, а также непрерывна. На отрезке $%x\in[-\sqrt{C},\sqrt{C}]$% эта функция, будучи непрерывной, принимает в какой-то точке $%x_0$% своё наибольшее значение. Оно будет наибольшим и на всей прямой, так как $%g(x_0)\ge g(0)=f(0)^2\ge0$%, а за пределами отрезка значение функции отрицательно, так как при $%|x| > C$% имеет место неравенство $%g(x)=f(x)^2-x^2 < C^2-C^2=0$%.

Таким образом, в точке $%x_0$% наблюдается глобальный максимум функции $%g$%. Отсюда по известной теореме Ферма из курса анализа следует, что производная функции в точке $%x_0$% равна нулю: $%g'(x)=2f(x)f'(x)-2x=0$% при $%x=x_0$%. Это и значит, что найдена точка $%x_0$% такая, что $%f'(x_0)f(x_0)=x_0$%.

Условие $%f(0)\ne0$% здесь является излишним.

ссылка

отвечен 11 Янв 16:51

@falcao, возможно автор задачи ожидал другого решения, поэтому важно было, чтобы функция не проходила через начало координат, где условие автоматически выполнено...

(11 Янв 22:23) all_exist

@all_exist: даже если предполагалось какое-то другое рассуждение, которое работает именно при f(0) не равном нулю, зачем нужно вычленять тривиальный случай, когда утверждение заведомо верно? Тогда уж "для комплекта" можно было сказать, что f'(0) тоже нулю не равно :)

(11 Янв 22:36) falcao

@falcao, Тогда уж "для комплекта" можно было сказать, что f'(0) тоже нулю не равно :) - я не знаю, что имел ввиду автор задачи, но мне подумалось, что эта задача на то, что "существует точка, в которой нормальная прямая проходит, через начало координат"... тогда условие про производную не выделяет тривиальный случай... )))

(11 Янв 22:48) all_exist

@all_exist: если имелась в виду какая-то формула, которую в принципе можно помнить, то логика понятна. Хотя и в этом случае исключения лучше не делать. Но я в выражении f'f сразу "узрел" производную от f^2, после чего всё остальное получалось автоматически. Самое трудное было разглядеть малюсенький штрих при f, который в текстовом виде почти сливается с буквой :)

(11 Янв 23:13) falcao

Кстати верно более общее $%\forall h \exists x_0 : f'(x_0)f(x_0)=h(x_0)$% где h(x) произвольная гладкая функция неограниченная снизу и сверху.

@falcao можно ли ваше доказательство адаптировать на этот общий случай?

(12 Янв 2:59) abc
1

@abc, произвольная гладкая функция неограниченная снизу и сверху - если под этим требованием понимается, что при $%x\to \pm\infty$% будут бесконечные пределы разного знака, то $%g(x) = f^2 -2\int_0^x h(\xi)\;d\xi$% и далее по тексту...

(12 Янв 3:16) all_exist

не совсем бесконечные пределы. +бесконечный верхний справа и -бесконечный нижний слева или нижний справа и верхний слева. Тогда интеграл может быть всюду ограниченным вроде как?

(12 Янв 3:22) abc

@abc, не совсем понял, что Вы имеете ввиду...

Если функция имеет интегрируемый разрыв второго рода, то она уже не является гладкой...

(12 Янв 3:47) all_exist

Я имел ввиду если интеграл $%\int_0^x h(\xi)\;d\xi$% всюду ограничен, то рассуждения выше напрямую уже не проходят. Остается вопрос может ли быть интеграл ограниченным при условии что функция h(x) не ограничена...

(12 Янв 3:53) abc

@abc, Остается вопрос может ли быть интеграл ограниченным при условии что функция h(x) не ограничена... - это возможно только при интегрируемом разрыве второго рода... но тогда функция не гладкая...

(12 Янв 16:04) all_exist
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×274

задан
11 Янв 15:51

показан
136 раз

обновлен
12 Янв 16:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru