Пусть n натуральное число. Для всех натуральных m<n найти значение суммы Сумма от k=0 до k=n ((-1)^k)(k^m)(C из n по k) Извиняюсь за вид написания, не знаю как тут значки ставить

задан 11 Янв 16:44

изменен 11 Янв 16:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я бы решал таким способом. Известно, что сочетания можно разложить по степеням, и наоборот. А именно, $%C_k^1=k^1$%; $%C_k^2=\frac{k(k-1)}2=\frac12k^2-\frac12k^1$%; $%C_k^3=\frac{k(k-1)(k-2)}6=\frac16k^3-\frac12k^2+\frac13k^1$%; и так далее. В обратную сторону: $%k^1=C_k^1$%; $%k^2=2C_k^2+k^1=2C_k^2+C_k^1$%; $%k^3=6C_k^3+3k^2-2k^1=6C_k^3+6C_k^2+C_k^1$% и так далее по индукции. Явный вид коэффициентов здесь не важен.

Исходя из сказанного, достаточно рассмотреть сочетания вместо степеней, и доказать, что все суммы равны нулю. Заметим, что $%C_k^m=0$% при $%m > k$%, поэтому достаточно суммировать по $%k$% от $%m$% до $%n$%. Легко видеть, что при этих условиях $%C_n^kC_k^m=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{m!(k-m)!}=\frac{n!}{(n-k)!(k-m)!}=n(n-1)\ldots(n-(m-1))C_{n-m}^{k-m}$%, где произведение перед числом сочетаний не зависит от $%k$%.

Далее мы суммируем по $%l=k-m$% в пределах от $%0$% до $%n-m$% выражения вида $%(-1)^kC_{n-m}^l=(-1)^m\cdot(-1)^lC_n^l$%. Множитель $%(-1)^m$% выносим, и остаётся $%\sum\limits_{l=0}^{n-m}(-1)^lC_{n-m}^l=(1-1)^{n-m}=0$% при $%n > m$%, то есть все суммы нулевые.

ссылка

отвечен 11 Янв 23:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть у нас $%n$% корзин и $%m$% различных шаров $%(n>m)$%.

Тогда число способов разместить шары по корзинам таким образом, чтобы все корзины были бы не пусты :

$$S(n,m)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}C_n^k\cdot k^m$$

Очевидно, что при $%n>m$% : $%S(n,m)=0$%

ссылка

отвечен 11 Янв 20:47

изменен 12 Янв 1:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Есть такой красивый, нигде в книгах не встречавшийся, метод суммирования: alt text

Нашим гуру рекомендую к разбору! Однозначно достойный внимания достаточно общий метод суммирования. Если что могу скинуть кучу примеров, решаемых этим способом.

ссылка

отвечен 11 Янв 18:06

изменен 11 Янв 18:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,775

задан
11 Янв 16:44

показан
194 раза

обновлен
12 Янв 1:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru